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Nichtlineare Schrödinger- und Wellengleichungen (Sommersemester 2015)

Termine
Vorlesung: Dienstag 9:45-11:15 SR 2.66 Beginn: 14.4.2015
Freitag 9:45-11:15 SR 2.66
Übung: Mittwoch 14:00-15:30 SR 2.66 Beginn: 22.4.2015
Lehrende
Dozent Prof. i. R. Dr. Lutz Weis
Sprechstunde:
Zimmer 2.042 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: lutz.weis@kit.edu
Übungsleiter Dr. Markus Antoni
Sprechstunde: nach Vereinbarung
Zimmer 2.044 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: markus.antoni@kit.edu

Die semilinearen Schrödinger- und Wellengleichungen

$\begin{align*}
i u_t + \Delta u & =  g(u), \qquad u(0) = u_0,
\ u_{tt} - \Delta u & = g(u), \qquad u(0) = u_0,\; u_t(0) = u_1,
\end{align*}$

mit einer z.B. polynomialen Nichtlinearität g spielen eine bedeutende Rolle in der mathematischen Modellierung von Wellenphänomenen der Physik und Technik.

In der Vorlesung werden zunächst die notwendigen Hilfsmittel aus der Fourieranalysis bereitgestellt. Auf dieser Grundlage wird die Regularitätstheorie der linearen Gleichungen behandelt (z.B. lokale Regularität, Strichartzabschätzungen). Mit Hilfe der Variation-der-Konstanten-Formel lassen sich dann die grundlegenden Aussagen der Wohlgestelltheitstheorie dieser Gleichungen auf Fixpunktargumente zurückführen. In den letzten Vorlesungen wird (ohne Beweis) ein Überblick über die neueren Ergebnisse auf diesem Gebiet gegeben.

Vorkenntnisse: Analysis I-III, Grundkenntnisse über die Geometrie der Hilberträume.



Literaturhinweise

  • F. Lineares, G. Ponce: Introduction to Nonlinear Dispersive Equations, Springer Verlag
  • T. Cazenave, A. Haraux: An Introduction to Semilinear Evolution Equations, Oxford Science Publications
  • H. Bahouri, J.-Y. Chemin, R. Danchin: Fourier Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations, Springer Verlag