Proseminar Analysis (Matrizen und dynamische Systeme) (Wintersemester 2019/20)
- Dozent*in: Prof. Dr. Roland Schnaubelt
- Veranstaltungen: Proseminar (0124600)
- Semesterwochenstunden: 2
- Hörerkreis: Mathematik, Informatik (ab 3. Semester)
Der Vortrag am 4.11. fällt aus.
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| Proseminar: | Montag 14:00-15:30 | Seminarraum SR 2.066 | Beginn: 14.10.2019 |
| Lehrende | ||
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| Seminarleitung | Prof. Dr. Roland Schnaubelt | |
| Sprechstunde: Dienstags um 12:00 - 13:00 Uhr, und nach Vereinbarung. | ||
| Zimmer 2-047 (Englerstr. 2) Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: schnaubelt@kit.edu | Seminarleitung | Dr. Nick Lindemulder |
| Sprechstunde: | ||
| Zimmer 2.044 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: nick.lindemulder@kit.edu | ||
Die zeitliche Veränderung von Systemen z.B. in den Naturwissenschaften wird im einfachsten Fall durch das wiederholte Anwenden einer Abbildung f beschrieben, die angibt, wie sich der Zustand des Systems in einem Zeitschritt ändert. Im Proseminar betrachten wir dabei lineare Systeme, bei denen f durch eine (reelle) Matrix T gegeben ist.
Eine Lösung oder Orbit eines solchen dynamischen Systems ist dann eine Folge (x, Tx, T^2x, ...) mit dem Anfangswert x. In dieser Situation (wie auch ganz allgemein in der Theorie der dynamischen Systeme) untersuchen wir das Konvergenzverhalten der Lösungen für große Zeiten n. Dieses wird wesentlich von den Eigenwerten der Matrix T bestimmt. In vielen Beispielen sind die Komponenten von T nicht-negativ, was tiefe Konsequenzen auf das Verhalten des Systems hat. Diese `Perron-Frobenius' Theorie soll im Zentrum des Proseminars stehen. Die Resultate können zum Beispiel auf Populationsmodelle oder den PageRank Algorithmus angewendet werden.
Man kann analog zeitkontinuierliche Systeme betrachten. Hier ist der Orbit mittels der Matrizenexponentialfunktion durch u(t) = exp(tA)x zur Zeit t gegeben. Die Funktion u löst die lineare Differentialgleichung u'(t) = Au(t). Bei genügend vielen Anmeldungen kann auch dieser Fall untersucht werden.
Die Vorträge beruhen auf Abschnitten im ersten Teil des Buches von Batkai, Kramar Fijavz und Rhandi. (Das Buch ist im übrigen auf Englisch, die Vorträge sind auf Deutsch vorgesehen.)
Das Proseminar setzt die Grundvorlesungen Analysis 1+2 und Lineare Algebra 1+2 voraus.
Literaturhinweise
- A. Batkai, M. Kramar Fijavz, A. Rhandi: Positive Operator Semigroups. Birkhäuser, 2017.