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Seminar Evolutionsgl

Seminar Evolutionsgleichungen (Sommersemester 2020)

Vorbesprechung und Seminarplatzvergabe:

Dienstag, 4. Februar, 13.05 - 14.00 Uhr, Seminarraum 2.067 im Mathegebäude.

Termine
Seminar: Dienstag 9:45-11:15 Seminarraum 3.068 Gebäude (20.30)
Lehrende
Seminarleitung Prof. Dr. Roland Schnaubelt
Sprechstunde: Dienstags um 12:00 - 13:00 Uhr, und nach Vereinbarung.
Zimmer 2-047 (Englerstr. 2) Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: schnaubelt@kit.edu

Dieses Seminar schließt sich direkt an meine Vorlesung Evolutionsgleichungen vom Wintersemester 18/19 bzw. an Nichtlineare Evolutionsgleichungen vom Sommersemester 2019 an. Sechs Vortragsthemen zum Langzeitverhalten werden nachfolgend aufgeführt, weitere können bei Bedarf vorgeschlagen werden. Die ersten drei Themen beziehen sich auf eine stark stetige Operatorhalbgruppe T(.) mit Erzeuger A und setzen Kapitel 4 von Evolutionsgleichungen fort. Die anderen drei behandeln semilineare Probleme im Rahmen von Kapitel 1, 3, bzw. 4 von Nichtlineare Evolutionsgleichungen.

  1. Starke Stabilität. Für beschränktes T(.) liefert der Satz von Arendt-Batty-Lubich-Vu Bedingungen an das Spektrum von A, die die Konvergenz T(t)x\to 0 für t\to\infty und alle x implizieren. Literatur: V.2.20-24 und IV.2.19+20 im Buch von Engel und Nagel.
  2. Exponentielle Stabilität positiver Halbgruppen. Wenn T(t) auf Lp positiv ist, dann ist die Wachstumschranke \omega_0(A) gleich der Spektralschranke s(A). Literatur: 5.3.1--5.3.6 aus dem Buch von Arendt, Batty, Hieber und Neubrander.
  3. Polynomiale Stabiltät. Bei einer beschränkten Halbgruppe auf einem Hilbertraum kann man polynomiales Abfallen von T(t) in der Operatornorm von D(A) nach X durch eine Wachstumsschranke der Resolvente von A charakterisieren. Literatur: Abschnitt 2 der Arbeit von Borichev und Tomilov von 2010, Abschnitt 2 der Arbeit von Batty und Duyckaerts von 2008.
  4. Konvergenz bei gedämpften Klein-Gordon Gleichungen. Diese Gleichungen sind Varianten der Wellengleichung aus Abschnitt 1.2 meines Skriptums Nonlinear Evolution Equations. Die Dämpfung erlaubt es die Konvergenz gegen die Equilibrienmenge zu zeigen, wobei man strikte Lyapunov Funktionen und Omega-Grenzmengen verwendet. Literatur: Abschnitt 9.5 im Buch von Cazenave und Haraux.
  5. Globale Existenz bei Reaktionsdiffusionssystemen. Für eine Klasse chemischer Reaktionen wird die globale Existenz mittels Maximumsprinzipen und maximaler Regularität vom Typ Lp gezeigt. Literatur: Kapitel 5 der Bari Lecture Notes (2002) von Prüss.
  6. Konvergenz gegen 0 bei der defokussierenden NLS. Die Lösungen der defokussierenden nichtlinearen Schrödingergleichung konvergieren in gewissen p-Normen für t\to\infty polynomial gegen 0, was aus geschickten Abschätzungen der zweiten Ableitung von t\mapsto \| xu(t)\|_2^2 folgt. Literatur: Lecture 14 des Skriptums des Internetseminars 2012/13.

Anmerkung. Ich plane im Wintersemester 20/21 ein Seminar anzubieten, dass sich an die Hörerinnen und Hörer der Vorlesung Evolution Equations im Sommersemester 20 richtet. Bei Fragen wenden Sie sich bitte an mich.