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Institut für Analysis
Arbeitsgruppe Funktionalanalysis
Navier-Stokes

Navier-Stokes-Gleichungen (Wintersemester 2007/08)

Vorbesprechung am Donnerstag, 19. Juli 2007, 13:15 Uhr in S34.

In diesem Seminar werden Vorträge zu Navier-Stokes und verwandten Gleichungen vergeben. Dabei steht eine funktionalanalytische Betrachtungsweise im Vordergrund.

Die Navier-Stokes-Gleichungen sind von fundamentaler Bedeutung in der Strömungsmechanik. Für die Bewegung einer nicht-kompressiblen Flüssigkeit in einem beschränkten Gebiet \Omega\subseteq\mathbb{R}^n ohne äußere Krafteinwirkung lauten sie im einfachsten Fall:
\begin{equation}\label{eq:nse}\tag{NSE} \left.\begin{array}{rcl} u_t-\Delta u+(u\cdot\nabla)u+\nabla p &=& 0,\quad \mbox{in $\Omega$}, t>0,\ \nabla\cdot u &=& 0 ,\quad \mbox{in $\Omega$}, t>0,\ u(0,\cdot) &=& u_0 ,\quad \mbox{in $\Omega$},\ u|_{\partial\Omega} &=& 0,\quad t>0, \end{array}\right\} \end{equation}
wobei u(t,x)\in\mathbb{R}^n die Geschwindigkeit und p(t,x)\in\mathbb{R} den Druck zur Zeit t im Punkt x bezeichnet. Dabei ist (u\cdot\nabla)u=(\sum_{k=1}^n u_k\partial_ku_j)_{j=1}^n, und die Dirichlet-Randbedingung bedeutet hier, dass am Rand keine Bewegung stattfindet (``no slip'').
In diesem Seminar werden Vorträge zur funktionalanalytischen Betrachtungsweise verschiedener Aspekte von (1) und von verwandten Gleichungen vergeben, z.B. zur Helmholtz-Zerlegung, zur stationären (linearen) Stokes-Gleichung, zur Linearisierung von (1), zum bilinearen Term (u\cdot\nabla)u und zu Varianten auf dem \mathbb{R}^n oder mit periodischen Randbedingungen.


Voraussetzungen

Funktionalanalysis oder Spektraltheorie oder Partielle Differentialgleichungen oder etwas ähnliches.

Termine
Seminar: Donnerstag 14:00-15:30 Seminarraum 33

Programm:

  • 26.10.07: Vorbesprechung
  • 08.11.07: Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen
  • 15.11.07: Die Helmholtz-Zerlegung I
  • 22.11.07: Die Helmholtz-Zerlegung II
  • 29.11.07: Die stationäre Stokes-Gleichung
  • 06.12.07: Der Stokes-Operator I
  • 13.13.07: Der Stokes-Operator II
  • 20.12.07: Der Stokes-Operator auf dem Torus
  • 10.01.08: Die Navier-Stokes-Gleichungen auf dem \mathbb{R}^n
  • 24.01.08: Der nichtlineare Term
  • 31.01.08: Helmholtzprojektion und Stokes-Operator auf allgemeinen Gebieten
  • 07.02.08: Schwache und milde Lösungen

Änderungen und Ergänzungen werden hier rechtzeitig bekanntgegeben.

Literaturhinweise

  • P. Constantin, C. Foia\c{s}: Navier-Stokes Equations, Chicago Lectures in Math. 1988.
  • H. Sohr: The Navier-Stokes equations. An elementary functional analytic approach, Birkhäuser, 2001.
  • R. Temam: Navier-Stokes equations and nonlinear functional analysis. 2nd ed. CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics. 66, 1995.