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Seminar Steuerungsth

Seminar Steuerungsth

Seminar Steuerungstheorie für Evolutionsgleichungen (Sommersemester 2024)

Dozent*in: Prof. Dr. Roland Schnaubelt
Veranstaltungen: Seminar (0173900)
Semesterwochenstunden: 2
Hörerkreis: Mathematik (ab 8. Semester)

Vorbesprechung und Seminarplatzvergabe:

Mittwoch, 7. Februar, 13:10 - 14:00 Uhr, Seminarraum 2.066 im Mathegebäude.
Wenn Sie Interesse am Seminar haben, aber nicht zu diesem Termin kommen können, teilen Sie mir das bitte vorab mit.

Termine
Seminar:	Montag 9:45-11:15	Seminarraum 3.068 Gebäude (20.30)	Beginn: 15.4.2024

Lehrende
Seminarleitung	Prof. Dr. Roland Schnaubelt
	Sprechstunde: Dienstags um 12:00 - 13:00 Uhr, und nach Vereinbarung.
	Zimmer 2-047 (Englerstr. 2) Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: schnaubelt@kit.edu

Evolutionsgleichungen beschreiben die zeitliche Veränderung von Systemen aus den Naturwissenschaften. Im Seminar betrachten wir dabei lineare Probleme der Form $z'(t)= Az(t) + Bu(t), \ t\ge0, \ \ z(0)=z_0.$ Hier stellt $z(t)\in Z$ den Zustand des Systems zur Zeit $t\ge0$ dar, $z_0\in Z$ ist der Anfangswert und der gegebene lineare Operator A repräsentiert die Struktur des Systems. Es wird angenommen, dass A eine stark stetige Operatorhalbgruppe $T(\cdot)$ auf dem Hilbertraum Z erzeugt. Ferner ist durch den stetigen Operator $B:U \to Z$ ein Steuerungsmechanismus gegeben und $u(t)\in U$ ist die Kontrolle (oder der Input) zur Zeit t. Weiter betrachtet man Beobachtungen oder Outputs $y(t)=Cz(t)$ für einen gegebenen Operator $C: Z \to Y$ . Die milde Lösung des Problems ist dann durch die Duhamelsche Formel bestimmt.

Wir wollen vor allem drei Fragen diskutieren. Zunächst möchte man für alle gegebenen Anfangswerte $z_0$ und Zielwerte $z_1 \in Z$ so eine Steuerung $u:\mathbb{R}_{\ge0}\to U$ und eine Zeit $\tau>0$ finden, dass das System zur Zeit $\tau$ den Zustand $z_1$ annimmt, also $z(\tau)=z_1$ gilt. Diese Eigenschaft der exakten Steuerbarkeit (oder gewisse Varianten) werden wir zumindest in einfacheren Fällen aus Eigenschaften der gegebenen Objekte A und B herleiten. Dual dazu ist die exakte Beobachtbarkeit des Systems (mit $B=0$ ), also dass die Abbildung von $z_0\mapsto CT(\cdot)z_0$ injektiv mit einer stetigen Linksinversen ist. Die dritte Fragestellung ist Stabilisierbarkeit: Gibt es so eine beschränkte Rückkopplung $F: Y \to U$ , dass für $u(t)=FCz(t)$ alle Lösungen des Systems exponentiell gegen 0 streben, also $A+BFC$ eine exponentiell stabile Halbgruppe erzeugt. Die Themen stammen aus Chapter 6 und 8 des Buches von Curtain und Zwart.

Dieses Seminar schließt sich direkt an die Vorlesung Evolutionsgleichungen an. Für Rückfragen wenden Sie sich bitte an mich.

Literaturhinweise

R. Curtain, H. Zwart: Introduction to Infinite-Dimensional Systems Theory. A State-Space Approach. 2020.
(Aus dem KIT Netz besteht online Zugriff auf das Buch.)