Analysis (Sommersemester 2007)
- Dozent*in: Prof. Dr. Roland Schnaubelt
- Veranstaltungen: Seminar (1740)
- Semesterwochenstunden: 2
- Hörerkreis: Mathematik (ab 6. Semester)
Das Seminar behandelt die grundlegenden Eigenschaften der Fouriertransformation und deren Anwendung auf die Theorie der singulären Integraloperatoren.
Wichtig
Am 19.April ist erste einführende Sitzung des Seminars. Ab dem 26. April finden dann wöchentlich die Vorträge statt.
| Termine | |||
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| Seminar: | Donnerstag 14:00-15:30 | Seminarraum 12 | Beginn: 19.4.2007 |
| Lehrende | ||
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| Seminarleitung | Prof. Dr. Roland Schnaubelt | |
| Sprechstunde: Dienstags um 12:00 - 13:00 Uhr, und nach Vereinbarung. | ||
| Zimmer 2-047 (Englerstr. 2) Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: schnaubelt@kit.edu | Seminarleitung | Dr. Bernhard H. Haak |
| Sprechstunde: | ||
| Zimmer 233M Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: bernhard.haak@math.uni-karlsruhe.de | ||
Die Fourier Transformation wird seit Anfang des 19. Jahrhunderts bei der Behandlung partieller Differentialgleichungen (z.B. der Diffusionsgleichung) verwendet. Insbesondere kann man mit ihrer Hilfe Lösungsformeln für Ganzraumprobleme gewinnen. Darüberhinaus ist sie (und ähnliche Transformationen) zu einem wichtigen Instrument in zahlreichen Gebieten der Mathematik und anderer Wissenschaften geworden. Von Anfang an führte sie allerdings auf wesentliche und tiefliegende analytische Schwierigkeiten, die wohl erst im 20. Jahrhundert befriedigend gelöst werden konnten.
Im Seminar sollen im einem ersten Teil die grundlegenden Eigenschaften der Fourier Transformation untersucht werden. Dies geschieht zunächst für schnell abfallende glatte Funktionen auf R^d (Elemente des Schwartz Raumes), dann für L^2 Funktionen, und schließlich für temperierte Distributionen (das sind stetige Linearformen auf dem Schwartz Raum). Diese Vorträge orientieren sich an den entsprechenden Abschnitten der Bücher von Werner und (ergänzend) von Rudin. In einem zweiten Teil behandeln wir Grundzüge der Theorie der singulären Integraloperatoren. Ein prototypisches Beispiel ist die Hilbert Transformation, die man formal als Faltung reeller Funktionen mit der (nicht integrierbaren!) Funktion k(t) = 1/t darstellen kann. Hierbei beweist man L^2 Eigenschaften relativ einfach mit Hilfe der Fourier Transformation, während L^p Eigenschaften neue Methoden erfordern. Als bedeutende Anwendung dieser Theorie wollen wir z.B. die Calderon-Zygmund Abschätzung für den Laplace Operator herleiten. Die Vorträge dieses zweiten Teils beruhen auf Auszügen der Kapitel 1-3 des Buches von Stein zu Singular Integrals.
Für das Seminar wird neben des Grundstudiums vor allem die Vorlesung Funktionalanalysis vorausgesetzt.
Literaturhinweise
- D. Werner: Funktionalanalysis. Springer.
- W. Rudin: Functional Analysis. McGraw Hill.
- E.M. Stein: Singular Integrals and Differentiability Properties of Funtions. Princeton University Press.
- E.M. Stein, G. Weiss: Introduction to Fourier Analysis in Euclidean Space. Princeton University Press.