Webrelaunch 2020

Seminar (Analysis) (Wintersemester 2008/09)

Thema: Operatoren in Divergenzform

Termine
Seminar: Donnerstag 14:00-15:30 Seminarraum 34
Lehrende
Seminarleitung apl. Prof. Dr. Peer Christian Kunstmann
Sprechstunde: Donnerstag, 13 - 14 Uhr
Zimmer 2.027 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: peer.kunstmann@kit.edu

In diesem Seminar werden wir Differentialoperatoren A der folgenden Form studieren

\begin{equation}\label{(1)} Au(x) = \textrm{div}( A(x) \nabla u)(x),\quad x\in\Omega, \end{equation}

wobei \Omega\subset \mathbb{R}^n ein Gebiet und A:\Omega\to\mathbb{C}^{n\times n} eine Abbildung ist, die gewissen Regularitäts- und Elliptizitätsbedingungen genügt. Solche Operatoren treten z.B. bei der Wärmeleitungsgleichung in inhomogenen Medien auf, wobei A(x) dann Materialeigenschaften an der Stelle x\in\Omega beschreibt.
Ist x\mapsto A(x) nur messbar (und nicht differenzierbar), so ist zunächst nicht klar, für welche Funktionen (1) überhaupt sinnvoll ist.

Den mathematischen Ausweg bietet die funktionalanalytische Methode, Operatoren in L^2(\Omega) durch symmetrische oder -- allgemeiner -- durch sektorielle Formen zu definieren. Mit diesem Zugang werden wir uns beschäftigen und im einzelnen behandeln:

Abgeschlossene, sektorielle Formen im Hilbertraum; Darstellungssätze; Halbgruppen; Invarianz konvexer Mengen; elliptische Operatoren mit L^\infty-Koeffizienten; Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen; Schrödinger-Operatoren; Erzeuger von Submarkov-Halbgruppen; analytische Halbgruppen; Abschätzungen von Wärmeleitungskernen.

Voraussetzungen: Funktionalanalysis, ev. Spektraltheorie.

Vorträge

Die bisherige Vortragsplanung sieht folgendermaßen aus:

Datum Thema
06.11. Sesquilinearformen und assoziierte Operatoren
13.11. Halbgruppen und akkretive Operatoren
20.11. Kein Vortrag wegen des TULKA-Treffens
27.11. entfällt
04.12. Invarianz abgeschlossener konvexer Mengen
11.12. Gleichmäßig elliptische Operatoren mit Randbedingungen
18.12. L^\infty-Kontraktivität I
08.01. L^\infty-Kontraktivität II
15.01. L^p-Kontraktivität I
22.01. L^p-Kontraktivität II
29.01. Abschätzungen des Wärmeleitungskerns

Literaturhinweise

  • E.M. Ouhabaz: Analysis of heat equations on domains, Princeton University Press 2005.
  • T. Kato: Perturbation Theory for Linear Operators, Springer 1976, 1995.
  • E.B. Davies: Spectral Theory and Differential Operators, Cambridge Univ. Press 1995.
  • E.B. Davies: Heat Kernels and Spectral Theory, Cambridge University Press 1989.