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Seminar Analysis: Interpolationstheorie und sektorielle Formen (Wintersemester 2012/13)

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Termine
Seminar: Donnerstag 14:00-15:30 Seminarraum K2 Gebäude (01.93) Beginn: 18.10.2012
Lehrende
Seminarleitung Prof. Dr. Roland Schnaubelt
Sprechstunde: Dienstag, 11:30 - 13:00 Uhr, und nach Vereinbarung
Zimmer 2-047 (Englerstr. 2) Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: schnaubelt@kit.edu
Seminarleitung Dr. Heiko Hoffmann
Sprechstunde: nach Vereinbarung
Zimmer 2.048 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: heiko.hoffmann@kit.edu

Das Seminar hat zwei Themenbereiche. In beiden Bereiche wird die Vorlesung Funktionalanalysis vorausgesetzt, bei einigen Voträgen (vor allem im zweiten Teil) wird auch Vorlesung Spektraltheorie benötigt.


1. Interpolationstheorie

Man hat häufig die Situation, dass ein stetiger linearer Operator T auf einem Banachraum X einen Teilraum Y invariant läßt und auch bezüglich einer feineren, vollständigen Norm auf Y stetig ist. Eine Reihe von klassischen Sätzen der Analysis (wie der von Riesz-Thorin) besagen nun, dass T automatisch auch auf `geeigneten' Zwischenräumen von X und Y stetig ist. Solche Räume heißen Interpolationsräume. Grundlegende Beispiele hierfür sind die Hölderräume C^\alpha([0,1]) zwischen C([0,1]) und C^1([0,1]) oder die Lebesgueschen Räume L^p(0,1) zwischen L^1(0,1) und L^\infty(0,1); aber auch zahlreiche andere wichtige Funktionenräume erhält man auf diese Weise. Im Seminar wird eine Klasse von Interpolationsräumen systematisch diskutiert (`reelle Interpolationsmethode'). Eine wichtige Anwendung ist der Summensatz von Da Prato und Grisvard för kommutierende, sektorielle Operatoren auf solchen Interpolationsräumen.


2. Sektorielle Formen

Ein linearer Operator A auf einem Banachraum X heißt sektoriell, wenn alle \lambda\in\mathbb{C} mit positiven Realteil in der Resolventenmenge von A liegen und \|\lambda(\lambda I-A)^{-1}\| gleichmäßig beschränkt ist. In der Vorlesung Spektraltheorie wird gezeigt, dass man dann die Evolutionsgleichung
\[ u'(t)=Au(t), \quad t>0, \qquad u(0)=x,\]
für alle Anfangswerte x in X mit Hilfe eines Funktionalkalküls lösen kann. Dieser Zugang erlaubt eine umfassende Theorie des dynamischen Verhaltens, allerdings ist es im allgemeinen recht mühsam die Sektorialität zu beweisen. Jedoch gilt diese wichtige Eigenschaft für Operatoren auf Hilberträumen, die durch sogenannte sektorielle Formen
a definiert sind. Die nötigen Eigenschaften solcher Formen sind nun viel leichter nachzuprüfen. Die sehr elegante Theorie sektorieller Formen wird im Seminar behandelt und auf Diffusionsprobleme angewendet.


Literaturhinweise

  • A. Lunardi: Interpolation Theory. 2009. (Kapitel 1+3; zu Teil 1)
  • E.M. Ouhabaz: Analysis of Heat Equations on Domains. (Kapitel 1, Anfang von Kapitel 2+4; zu Teil 2)