KIT - Fakultät für Mathematik - Seminar (Funktionalkalkül für sektorielle Operatoren) (Wintersemester 2016/17)

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Arbeitsgruppe Funktionalanalysis

Seminar (Analysis)

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Seminar (Funktionalkalkül für sektorielle Operatoren) (Wintersemester 2016/17)

Dozent*in: Prof. i. R. Dr. Lutz Weis
Veranstaltungen: Seminar (0123300)
Semesterwochenstunden: 2

Termine
Seminar:	Freitag 11:30-13:00	SR 2.66

Lehrende
Seminarleitung	Prof. i. R. Dr. Lutz Weis
	Sprechstunde:
	Zimmer 2.042 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: lutz.weis@kit.edu
Seminarleitung	Dr. Markus Antoni
	Sprechstunde: nach Vereinbarung
	Zimmer 2.044 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: markus.antoni@kit.edu

Ein zentraler Satz der Analysis besagt, dass selbstadjungierte Operatoren auf einem Hilbertraum ähnlich zu einem Multiplikationsoperator sind und einen Funktionalkalkül für messbare Funktionen besitzen. Für Hilbertraumoperatoren, die nicht normal sind, oder für die Erweiterung von selbstadjungierten Operatoren auf $L^p$ -Räume trifft dies nicht mehr zu. Jedoch haben viele Operatoren $A$ , die in den Anwendungen der Analysis, in den Naturwissenschaften, in der Numerik oder der Stochastik wichtig sind, einen $H^\infty$ -Funktionalkalkül, d.h. es gibt einen Algebrahomomorphismus

$H^\infty(\Sigma_\theta) \ni f \mapsto f(A) \in B(X)$

von den beschränkten analytischen Funktionen $f$ auf einem Sektor $\Sigma_\theta = \{ \lambda \in \mathbb{C} \colon \text{arg}(\lambda) < \theta \}$ in die beschränkten Operatoren auf dem $A$ zugrunde liegenden Banachraum $X$ . Genauso wie der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren hat dieser Funktionalkalkül viele Anwendungen in der Theorie der Evolutionsgleichungen, insbesondere für Regularitätsaussagen für Lösungen. Für einen selbstadjungierten Operator auf einem Hilbertraum wird insbesondere die Äquivalenz
folgender Aussagen bewiesen:

1) $A$ hat einen beschränkten $H^\infty(\Sigma_\theta)$ -Kalkül mit $\theta < \frac{\pi}{2}$ ;
2) $A$ ist akkretiv in einem äquivalenten Skalarprodukt $[\cdot,\cdot]$ , d.h. es gilt $[Ax, x] \in \Sigma_{\frac{\pi}{2}}$ für
alle $x \in D(A)$ ;
3) $A$ erzeugt eine analytische Halbgruppe $(T(t))_{t\geq 0}$ , die in einem äquivalenten Hilbertraum
Norm-kontraktiv ist;
4) $A$ hat eine Dilation zu einem Multiplikationsoperator, d.h. $A$ ist die Einschränkung eines
Multiplikationsoperators auf einem größeren Hilbertraum.

Nach 2) gibt es also viele Differentialoperatoren (z.B. elliptische), die diese Aussagen erfüllen. 3) stellt den Zusammenhang zu Evolutionsgleichungen und 4) den Zusammenhang zu der Theorie der selbstadjungierten Operatoren her. Entsprechende Aussagen gibt es auch für Operatoren auf $L^p$ -Räumen.

Vorkenntnisse: Funktionalanalysis

Termine und Vortragsthemen

25.11.2016: $H^\infty$ -Kalkül für akkretive Operatoren
02.12.2016: Sektorielle Formen
09.12.2016: Quadratfunktionen
16.12.2016: Charakterisierung des $H^\infty$ -Kalküls

Literatur

P. Kunstmann, L. Weis: Maximal $L_p$ -regularity for Parabolic Equations, Fourier
Multiplier Theorems and $H^\infty$ -functional calculus