Seminar Ergodentheorie (Sommersemester 2023)
- Dozent*in: Prof. Dr. Roland Schnaubelt
- Veranstaltungen: Seminar (0173900)
- Semesterwochenstunden: 2
- Hörerkreis: Mathematik (ab 6. Semester)
Vorbesprechung und Seminarplatzvergabe:
Dienstag, 7.2., 13.05 - 14.00 Uhr, Seminarraum 2.067 im Mathegebäude.
Wenn Sie Interesse am Seminar haben, aber nicht zu diesem Termin kommen können, teilen Sie mir das bitte vorab mit.
| Termine | |||
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| Seminar: | Montag 11:30-13:00 | Seminarraum 2.067 Gebäude (20.30) | Beginn: 17.4.2023 |
| Lehrende | ||
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| Seminarleitung | Prof. Dr. Roland Schnaubelt | |
| Sprechstunde: Dienstags um 12:00 - 13:00 Uhr, und nach Vereinbarung. | ||
| Zimmer 2-047 (Englerstr. 2) Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: schnaubelt@kit.edu | ||
Zeitlich diskrete dynamische Systeme kann man durch das wiederholte Anwenden einer Abbildung f auf einer Grundmenge aller Zustände beschreiben. Ein Iterationschritt entspricht dann dem Verstreichen einer Zeiteinheit. Wir betrachten im Seminar vor allem 'maßerhaltende' Abbildungen f auf einem Wahrscheinlichkeitsraum. Ein System heißt ergodisch, wenn von f invariant gelassene Mengen schon das Maß 0 oder 1 haben müssen. Dies drückt aus, dass sich das System nicht weiter zerlegen läßt. Eine zentrale Frage der Ergodentheorie ist nun, wie sich ergodische System für große Zeiten `im Mittel' verhalten. Eine der grundlegenden Antworten hierauf ist der Neumannsche Ergodensatz. Er besagt, dass das zeitliche Mittel des Systems in L^2 gegen das räumliche Mittel der Anfangsfunktion konvergiert. Um diesen Satz zu beweisen, verwendet man den von f induzierten Substitutionsoperator auf L^2. Damit überführt man die Fragestellung in eine der Operatorentheorie (oder der Funktionalanalysis), was sich für viele ähnliche Themen als sehr fruchtbar erwiesen hat. Im Seminar diskutieren wir den Neumannschen Satz samt Varianten und verwandte Aussagen etwa zum Mischungsverhalten.
Das Seminar verwendet die Vorlesungen Funktionalanalysis und Analysis 3. Soweit diese Vorausetzungen erfüllt sind, ist es für Studierende im Bachelor und Master geeignet.
Für Rückfragen wenden Sie sich gerne an mich.
Literaturhinweise
T. Eisner, B. Farkas, M. Haase, R. Nagel: Operator Theoretic Aspects of Ergodic Theory, 2015.
(Aus dem KIT Netz besteht online Zugriff auf das Buch.)