Spektraltheorie (Sommersemester 2012)
- Dozent*in: Dr. Martin Meyries
- Veranstaltungen: Vorlesung (0156400), Übung (0156500)
- Semesterwochenstunden: 4+2
| Termine | ||
|---|---|---|
| Vorlesung: | Dienstag 15:45-17:15 | 1C-03 |
| Freitag 11:30-13:00 | 1C-03 | |
| Übung: | Mittwoch 15:45-17:15 | 1C-03 |
| Lehrende | ||
|---|---|---|
| Dozent | Dr. Martin Meyries | |
| Sprechstunde: | ||
| Zimmer Allianz-Gebäude (05.20) | ||
| Email: martin.meyries@mathematik.uni-halle.de | Übungsleiter | Dr. Heiko Hoffmann |
| Sprechstunde: nach Vereinbarung | ||
| Zimmer 2.048 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: heiko.hoffmann@kit.edu | ||
Inhalt
Viele in Natur und Technik auftretende Phänomene kann man durch lineare Operatoren auf Banachräumen beschreiben und sie dadurch einer rigorosen theoretischen Untersuchung zugänglich machen. Ziel der Vorlesung ist es, die entsprechend reichhaltige mathematische Struktur solcher Operatoren, wie z.B. Differential- und Integraloperatoren, im Detail zu verstehen und sie gleichzeitig in einem abstrakten funktionalanalytischen Rahmen darzustellen. Die behandelten Themen werden in vielen Bereichen der theoretischen und angewandten Analysis eingesetzt.
Der Schlüssel zum Verständnis einer -Matrix ist die aus der Linearen Algebra bekannte Eigenwerttheorie von Matrizen. Für einen Operator
auf einem Banachraum
ist das Spektrum
analog definiert durch
In unendlichdimensionalen Räumen treten dabei viele neue Phänomene auf, die im Endlichdimensionalen verborgen bleiben. Da es Operatoren gibt, die injektiv, aber nicht surjektiv sind, muss ein Spektralwert beispielsweise nicht unbedingt einen zugehörigen Eigenvektor besitzen.
In der Vorlesung wollen wir das Spektrum verschiedener Klassen von Operatoren untersuchen und dadurch Rückschlüsse auf die Operatoren selbst ziehen. Unter anderem behandeln wir die folgenden Themen:
- allgemeine Spektraltheorie stetiger und unstetiger Operatoren;
- kompakte Operatoren und Fredholmsche Alternative (wann gilt injektiv
surjektiv ?);
- normale und selbstadjungierte Operatoren auf Hilberträumen;
- stetiger, beschränkter und holomorpher Funktionalkalkül (was soll
sein?);
- Sobolevräume, Differentialoperatoren und Integralgleichungen.
Es wird die Vorlesung Funktionalanalysis vorausgesetzt.
Literatur
- Skripte von Herrn Schnaubelt (pdf) und Herrn Kunstmann (pdf).
- H.W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. Springer.
- J.B. Conway: A Course in Functional Analysis. Springer.
- N. Dunford, J.T. Schwartz: Linear Operators. Part I: General Theory. Wiley.
- T. Kato: Perturbation Theory of Linear Operators. Springer.
- A.E. Taylor, D.C. Lay: Introduction to Functional Analysis. Wiley.
- D. Werner: Funktionalanalysis. Springer.
Weitere Literatur findet man in der Vorlesungspräsenz der mathematischen Bibliothek.