Spektraltheorie (Sommersemester 2007)
- Dozent*in: Prof. Dr. Roland Schnaubelt
- Veranstaltungen: Vorlesung (1570), Übung (1571)
- Semesterwochenstunden: 4+2
- Hörerkreis: Mathematik (ab 6. Semester)
Die Vorlesung richtet sich an Studierende aller mathematischen Studiengänge ab dem sechsten Semester.
Vorausgesetzt wird der Stoff des Grundstudiums und einer einführenden Vorlesung in Funktionalanalysis. Spektraltheoretische Methoden werden in weiten Teilen der Analysis und der Mathematischen Physik verwendet.
| Termine | |||
|---|---|---|---|
| Vorlesung: | Dienstag 8:00-9:30 | Seminarraum 31 | Beginn: 17.4.2007 |
| Mittwoch 8:00-9:30 | Seminarraum 31 | ||
| Übung: | Mittwoch 14:00-15:30 | Seminarraum 31 | Beginn: 25.4.2007 |
| Lehrende | ||
|---|---|---|
| Dozent | Prof. Dr. Roland Schnaubelt | |
| Sprechstunde: Dienstags um 12:00 - 13:00 Uhr, und nach Vereinbarung. | ||
| Zimmer 2-047 (Englerstr. 2) Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: schnaubelt@kit.edu | Übungsleiter | Dr. Bernhard H. Haak |
| Sprechstunde: | ||
| Zimmer 233M Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: bernhard.haak@math.uni-karlsruhe.de | ||
Übungsblätter
1. Übungsblatt als PDF Dokument und als Postscript Datei
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Inhalt
Die Spektraltheorie befasst sich mit dem Verhalten der Operatorfamilie sI-A für einen linearen Operator A in Abhängigkeit eines komplexen Parameters s. Dabei interessiert man sich insbesondere für die Invertierbarkeit von sI-A, für die Eigenschaften der Inversen und für die Eigenräume von A (also die Kerne von sI-A). Im Falle einer Matrix A wurden solche Fragen in der Linearen Algebra untersucht. In der Vorlesung werden lineare Operatoren A auf Banach- und Hilberträumen betrachtet, und die entwickelten Methoden und Resultate sind für viele Bereiche der Analysis und ihrer Anwendungen von grundlegender Bedeutung. Im Hinblick auf die partiellen Differentialgleichungen, behandeln wir auch Differentialoperatoren. Diese sind zwar unstetig, besitzen aber zumindet die schwächere Eigenschaft der Abgeschlossenheit. Damit auch Beispiele in den L^p Räumen studiert werden können, gibt die Vorlesung eine Einführung die Theorie der Sobolevräume und der schwachen Ableitungen. Gelegentlich benötigen wir für die Beispiele auch Ergebnisse aus den partiellen Differentialgleichungen, die in der Vorlesung kurz ohne Beweis vorgestellt werden.
Aufbauend auf der Untersuchung der grundlegenden Spektraleigenschaften stetiger und abgeschlossener linearer Operatoren, untersuchen wir insbesondere Funktionalkalküle. Diese Kalküle erlauben es, Operatoren wie z.B. die Wurzel von A oder exp(A) in einigen wichtigen Fällen zu definieren und damit zu rechnen. Wir behandeln die Fälle, dass A stetig ist (Dunfordkalkül), dass A selbstadjungiert ist (Spektralsatz in Hilberträumen) und dass A sektoriell ist. Mit Hilfe der letzten beiden Fälle, kann man zum Beispiel die Diffusionsgleichung lösen und untersuchen.
Für die Vorlesung wird neben des Grundstudiums vor allem eine Vorlesung in Funktionalanalysis vorausgesetzt.
Literaturhinweise
- J.B. Conway: A Course in Functional Analysis. Springer.
- A. Lunardi: Analytic Semigroups and Optimal Regularity in Parabolic Problems. Birkhäuser. (Kapitel 2)
- M. Schechter: Principles of Functional Analysis. Academic Press.
- D. Werner: Funktionalanalysis. Springer.
- A.E. Taylor, D.C. Lay: Introduction to Functional Analysis. Wiley.