Spectral Theory (Sommersemester 2023)
- Dozent*in: Prof. Dr. Roland Schnaubelt
- Veranstaltungen: Vorlesung (0163700), Übung (0163800)
- Semesterwochenstunden: 4+2
- Hörerkreis: Mathmatik, Physik (ab 6. Semester)
Alle Informationen und Materialien zu dieser Vorlesung werden in dem Kurs "Spectral theory" in der Lernplattform Ilias zur Verfügung gestellt. Auch die Kommunikation via Email und Forum erfolgt über ihn. Bitte treten Sie deshalb diesem Kurs bei, wenn Sie an der Veranstaltung teilnehmen wollen.
Die Vorlesung wird auf Englisch gehalten.
| Termine | |||
|---|---|---|---|
| Vorlesung: | Dienstag 8:00-9:30 | SR 2.66 | Beginn: 18.4.2023 |
| Donnerstag 11:30-13:00 | SR 2.58 | ||
| Übung: | Mittwoch 14:00-15:30 | SR 2.66 | Beginn: 19.4.2015 |
| Lehrende | ||
|---|---|---|
| Dozent | Prof. Dr. Roland Schnaubelt | |
| Sprechstunde: Dienstags um 12:00 - 13:00 Uhr, und nach Vereinbarung. | ||
| Zimmer 2-047 (Englerstr. 2) Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: schnaubelt@kit.edu | Übungsleiter | Richard Nutt M.Sc. |
| Sprechstunde: Gerne einfach vorbeikommen | ||
| Zimmer 2.043 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: richard.nutt@kit.edu | ||
Das Spektrum eines linearen Operators in einem Banachraum verallgemeinert den Begriff der Eigenwerte von Matrizen. Spektraltheoretische Methoden spielen in Banachräumen eine ähnlich bedeutende Rolle wie die Eigenwertheorie im Endlichdimensionalen, und sie werden demgemäß überall in der Analysis und ihren Anwendungen eingesetzt.
Am Beginn der Vorlesung werden die grundlegenden Eigenschaften des Spektrums behandelt. Im Hinblick auf die Anwendungen auf Differentialoperatoren erfolgt dies nicht nur für stetige lineare Abbildungen, sondern auch für eine besondere Klasse unstetiger linearer Operatoren, den abgeschlossenen Operatoren. Um Differentialoperatoren auch auf L^p Räumen untersuchen zu können, werden auch schwache Ableitungen im L^p Rahmen und die Sobolevräume diskutiert. Hierbei gehen wir auch auf die Fouriertransformation ein. Für zwei wichtige Klassen von Operatoren kann man recht weitgehende Aussagen über das Spektrum machen. Wir befassen uns zunächst mit kompakten Operatoren, bei denen das Spektrum wieder weitgehend durch Eigenwerte bestimmt ist. In diesem Kontext wird auch die sogenannte Fredholmsche Alternative bewiesen, die wesentliche Anwendungen etwa auf Integralgleichungen hat. Anschließend studieren wir (u.U. nur abgeschlossene) selbstadjungierte Operatoren auf Hilberträumen. Für diese erlaubt der Spektralsatz eine weitreichende Verallgemeinerung des Diagonalisierungssatzes für hermitesche Matrizen. Schließlich behandeln wir die Funktionalkalküle für selbstadjungierte, beschränkte und sektorielle Operatoren.
Kenntnisse aus Vorlesung Funktionalanalysis werden stark empfohlen.
Prüfung
Die Modulprüfung wird mündlich durchgeführt (Dauer ca. 30 min). Sie findet am 16. August und am 14. September jeweils ab 9:00 Uhr im Besprechungsraum 2.070 statt. Die Anmeldung erfolgt online über das CAS Campus Management. Nach erfolgter Anmeldung vereinbaren Sie bitte im Sekretariat Katz/Schaaf einen Prüfungstermin an einem der beiden Tage (bis 11.8., 12:00 Uhr, für ersten Termin; bis 11.9., 12:00 Uhr, für zweiten). Von der Prüfung können Sie sich bis drei Werktage vor Ihrem Prüfungstermin (ohne Begründung) wieder abmelden. Wenn Sie zuvor einen Termin im Sekretariat erhalten haben, informieren Sie dieses bitte über ihren Rücktritt. Die Prüfung kann auf Englisch oder Deutsch abgelegt werden.
Die Abschnitte 3.2, 3.3 und 5.2 werden nicht abgefragt, ebenso nicht die zusätzlichen Inhalte des Skripts (Anhänge, in der Vorlesung ausgelassene Beweise (mit Fußnoten markiert), sowie Verweise auf Literatur und andere Skripten). Allerdings sollte man verstehen, warum man einen zitierten Satz in der Argumentation anwenden kann.
Literaturhinweise
Auf meiner Homepage und in Ilias wird abschnittsweise ein Skriptum als PDF bereitgestellt. Hier sind einige einschlägige Monographien, darunter auch Klassiker:
- H.W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. Springer, 2006.
- H. Brezis: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Springer, 2011.
- J.B. Conway: A Course in Functional Analysis. Springer, 2007
- N. Dunford, J.T. Schwartz: Linear Operators. Part I: General Theory. Wiley, 1988.
- N. Dunford, J.T. Schwartz: Linear Operators. Part II: Spectral Theory. Wiley, 1988.
- T Kato: Perturbation Theory of Linear Operators. Springer, 1995.
- M. Reed, B. Simon: Methods of Modern Mathematical Analysis. Volume I: Functional Analysis. Academic Press, 1980.
- M. Reed, B. Simon: Methods of Modern Mathematical Analysis. Volume II: Fourier Analysis, Self-adjointness. Academic Press, 1975.
- B. Simon: Operator Theory. A Comprehensive Course in Analysis, Part 4. American Math. Society, 2015.
- A.E. Taylor, D.C. Lay: Introduction to Functional Analysis. Wiley, 1980.
- J. Weidmann: Lineare Operatoren in Hilberträumen. Teil I Grundlagen. Teubner, 2000.
- D. Werner: Funktionalanalysis. Springer, 2005.