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Stochastische Differentialgleichungen (Wintersemester 2012/13)

  • Dozent*in: Prof. Dr. Roland Schnaubelt
  • Veranstaltungen: Vorlesung (0105900), Übung (0106000)
  • Semesterwochenstunden: 4+2
  • Hörerkreis: Mathematik

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Termine
Vorlesung: Montag 8:00-9:30 1C-04 Beginn: 15.10.2012
Mittwoch 8:00-9:30 1C-04
Übung: Mittwoch 14:00-15:30 Z2 Beginn: 17.10.2012
Lehrende
Dozent Prof. Dr. Roland Schnaubelt
Sprechstunde: Dienstag, 11:30 - 13:00 Uhr, und nach Vereinbarung
Zimmer 2-047 (Englerstr. 2) Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: schnaubelt@kit.edu
Übungsleiter Dr. Heiko Hoffmann
Sprechstunde: nach Vereinbarung
Zimmer 2.048 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: heiko.hoffmann@kit.edu

Mit gewöhnlichen Differentialgleichungen kann man die zeitliche Veränderung von Systemen beschreiben, deren Zustände zur Zeit t durch einen n-dimensionalen Vektor u(t) bestimmt werden. Die Struktur und die Parameter des Systems werden hierbei durch eine (stetig differenzierbare) Funktion f ausgedrückt. Für jeden Anfangswert x erhält man dann die Zustandsbeschreibungen u(t) durch die eindeutig bestimmte Lösung des Anfangswertproblems
(1) \quad \[  u'(t)= f(u(t)), \quad t\ge0, \qquad u(0)=x.\]
Hierbei ist zu beachten, dass die Lösung im allgemeinen nur auf einem endlichen Zeitintervall existiert. Es schließen sich nun zahlreiche Fragen an, wie etwa: Für welche Anfangswerte existiert die Lösung für alle Zeiten? Wie verhalten sich die Lösungen für große Zeiten, konvergieren sie z.B. gegen Equilibria?

In vielen komplexeren Anwendungsbereichen kennt man allerdings Teile des Systems nicht genau genug, um das System durch die deterministische Differentialgleichung (1) zu modellieren. Um das System trotzdem adäquat zu beschreiben, betrachtet man etwa zufällige Störungen von (1). In der mathematischen Beschreibung geht man dabei von der integrierten Version  u(t)=x + \int_0^t f(u(s))\,ds von (1) aus und addiert ein stochastisches Integral, was auf die Gleichung
(2) \quad\[  U_t=x + \int_0^t f(U_s)\,ds + \int_0^t g(U_s) \,dB_s \]
führt. Hierbei ist B=(B_t)_{t\ge 0} eine standardisierte n-dimensionale Brownsche Bewegung auf einem Wahrscheinlichkeitsraum und der Zustand U_t zur Zeit t ist nun eine vektorwertige Zufallsvariable auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum. Weiter beschreibt g die Kovarianz der zufälligen Störung in Abhängigkeit von der Lösung. Wir behandeln Beispiele solcher Gleichungen aus den Naturwissenschaften und der Finanzmathematik.

Der neue Term in (2) ist das sogenante Ito-Integral. In der ersten Hälfte der Vorlesung wird dieses eingeführt und seine Eigenschaften diskutiert. Hierzu werden eine Reihe von Vorbereitungen aus der Stochastik behandelt (z.B. Brownsche Bewegung, bedingte Erwartung, Martingale, Stoppzeiten). Das Ito-Integral selbst wird dabei durch einen Approximationsprozess in einem geeigneten Hilbertraum definiert. Die Theorie der stochastischen Differentialgleichung (2) wird dann in Anlehnung an (1) entwickelt. Der zufällige Anteil von (2) hat aber zur Folge, dass viele Eigenschaften nur fast sicher oder im Mittel bzgl. des zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsraumes gelten. Vor allem treten aber zahlreiche neue interessante Phänomene auf (Markoveigenschaft, invariante Maße). Schließlich besteht ein erstaunlicher Zusammenhang zwischen den Lösungen von (2) und einer zugehörigen Diffusionsgleichung, auf den wir (wenn Zeit bleibt) am Ende der Vorlesung eingehen wollen.

Die Veranstaltung setzt die Vorlesungen "Wahrscheinlichkeitstheorie" und "Funktionalanalysis" bzw. "Differentialgleichungen und Hilberträume" voraus.

Prüfung

Die studienbegleitende Prüfung wird mündlich durchgeführt und findet am Vormittag des 4. März statt. Studierende der Masterstudiengänge melden sich online in Qispos an. Studierende des Bachelorstudiengangs melden sich (nach Rücksprache mit ihrem Studienberater) mit einer Zulassungsbescheinigung direkt beim Dozenten an.

Die Anmeldung muss bis zum Mittwoch, 27.2., erfolgen. Anschließend wird auf der Vorlesungsseite im Studierendenportal die Liste der Prüfungen mit den Uhrzeiten bekannt gemacht.

Literaturhinweise

  • B. Øksendal, Stochastic differential equations : an introduction with applications. Springer.
  • J.M. Steele: Stochastic calculus and financial applications. Springer.

(Weitere Literatur wird in der Vorlesung angegeben. Vertiefende Werke werden in den Vorlesungsapparat gestellt.)