Webrelaunch 2020

Stochastische Differentialgleichungen (Wintersemester 2017/18)

Termine
Vorlesung: Montag 11:30-13:00 SR 3.69 Beginn: 20.10.2017
Freitag 9:45-11:15 SR 3.69
Übung: Donnerstag 15:45-17:15 SR 3.69 Beginn: 26.10.2017
Lehrende
Dozent, Übungsleiter Prof. i. R. Dr. Lutz Weis
Sprechstunde:
Zimmer 2.042 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: lutz.weis@kit.edu
Dozent, Übungsleiter Dr. Luca Hornung
Sprechstunde: Donnerstag 11.00-12.00 und nach Vereinbarung
Zimmer 2.045 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: luca.hornung@kit.edu

Die 1. Vorlesung findet am 20.10.2017 statt.

Vorlesungsinhalt

Bei der mathematischen Behandlung von Modellen der Naturwissenschaften, Technik oder Finanzwissenschaften, die sich mithilfe von gewöhnlichen Differentialgleichungen

$\frac{d}{dt}y(t) = f(t,y(t)), \quad y(0) = y_0,$

als dynamische Systeme beschreiben lassen, müssen oft zufällige Störungen des Systems berücksichtigt werden, die durch Messfehler oder zufällige Umwelteinflüsse entstehen, oder unvollständige Informationen über das Systemverhalten ausdrücken. Oft lassen sich solche Modelle mithilfe von stochastischen Differentialgleichungen der Form

$ dy(t) = f(t,y(t)) dt + d\beta(t) $

beschreiben, wobei \beta(t) für die Brown'sche Bewegung und d\beta(t) für das "weiße Rauschen" steht.

Ziel der Vorlesung ist es, die Lösungstheorie solcher stochastischen Differentialgleichungen darzustellen. Dazu geben wir nach einer kurzen Wiederholung stochastischer Grundbegriffe (z.B. Verteilungsfunktionen, unabhängige Zufallsvariablen) eine Einführung in die stochastische Analysis (stochastische Integrale, Ito-Formel, Martingale, Stoppzeiten). Mit diesen Hilfsmitteln werden dann die grundlegenden Existenz-, Eindeutigkeits- und Stabilitätssätze für stochastische Differentialgleichungen bewiesen sowie die Eigenschaften ihrer Lösungen untersucht (Markov Eigenschaft, Glattheit der Pfade).

Diese Theorie wird dann durch Anwendungen auf Gleichungen aus der Finanzmathematik, Physik, Biologie und der Technik illustriert.


Vorkenntnisse: Integrationstheorie, stochastische Grundbegriffe, Hilberträume

Literaturhinweise

  • J.M. Steele: Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer, 2001
  • L.C. Evans: An Introduction to Stochastic Differential Equations, AMS, 2013
  • X. Mao: Stochastic Differential Equations and Applications, Woodhead Publishing, 2008