Kurzbeschreibung

Numerik mit Ergebnisverifikation II

Diese 4-stündige Vorlesung ist eine Fortführungsvorlesung und baut auf den Ergeb-nissen von Kurs I auf. Sie ist Teil II eines im 2-semestrigen Zyklus Numerik mit Ergebnisverifikation I, II mit insgesamt 8 (gegf. mit Übungen) bis bis 12 Wochen-stunden.

Die Vorlesung entwickelt die benötigten Elemente und kann daher relativ selbststän-dig gehört werden. Kenntnisse aus der Vorlesung Numerik mit Ergebnisverifikation I und Numerik III sind vorteilhaft, aber nicht zwingend notwendig.

Termine
Vorlesung:	Mittwoch 9:45-11:15	Seminarraum 13
	Donnerstag 11:30-13:00

Kontext der Vorlesung

Diese 4-stündige Vorlesung ist Teil I eines im 2-semestrigen Zyklus Numerik mit Ergebnisverifikation I, II mit insgesamt 8 (gegf. mit Übungen) bis bis 12 Wochenstunden.

Derzeit ist der Zyklus:

Im Sommersemester Numerik mit Ergebnisverifikation I
Im Wintersemester Numerik mit Ergebnisverifikation II

Der Verifikationsprozess ist ein automatisierten, algorithmischer Beweis für mathematische Aussagen über die dadurch gleichzeitig berechnete Lösung, wie zum Beispiel (lokale) Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen. Außerdem sind damit Einschließungsmengen (Mengen, deren Durchmesser die Berechnungsgenauigkeit sichern und i.d.R. beliebig vorgegeben werden kann) berechnet in denen die Lösung mit mathematischer Garantie enthalten ist.

Verifikation bedeutet, dass alle numerischen Ergebnisse durch programmierte Beweisschritte in ihrer Zuverlässigkeit gesichert sind. Diese hohe Sicherheitsanforderung wird immer mehr zum Qualitätsstandard in den technologischen und industriellen Applikationen. Verifikation ist gleichbedeutend mit Mathematisch bewiesen obwohl die Berechnungen mit rundungsfehlerbehafteten Arithmetiken durchge-führt werden können.

Die hergeleiteten Methoden sind die Grundlage für numerische Verifikationsprozesse (auf Rechnern), welche massive Anwendung finden im Risikomanagement und in Zuverlässigkeitsanalysen bei Modellen, Formeln und Programmen, bis hin zu Beweisen von mathematischen Theoremen.

Inhalt

Die Vorlesung führt ein in die Methoden zur verifizierten Berechnung der Lösung von Differential- und Integralgleichungen als auch von unendlichen linearen und nichtlinearen Gleichungssystemen.
Dabei wird es möglich, je nach Aufgabenstellung, die lokale Existenz und Eindeu-tigkeit der Lösung numerisch in einer simultan berechneten Menge von kleinem (evtl. vorgegebenem) Durchmesser zu beweisen, in der die Lösung liegt bzw. die die Lösung darstellt. Bei unendlichen Gleichungssystemen wird die (unendliche) Zahlen-folge der Lösung in einer (unendlichen) Intervallfolge eingeschlossen und verifi-ziert. Anhand von Übungsbeispielen wird die Theorie und Ihre Anwendung veran-schaulicht.

Die hergeleiteten Methoden sind die Grundlage für numerische Verifikationsprozes-se (auf Rechnern), welche massive Anwendung finden im Risikomanagement und Zuverlässigkeitsanalysen bei Modellen, Formeln, Programmen, bis hin zu Beweisen von mathematischen Theoremen

Verifikation bedeutet, dass alle numerischen Ergebnisse durch programmierte Beweisschritte in ihrer Zuverlässigkeit gesichert sind. Diese hohe Sicherheitsanfor-derung wird immer mehr zum Qualitätsstandard in den technologischen und indus-triellen Applikationen. Verifikation ist gleichbedeutend mit Mathematisch bewie-sen obwohl die Berechnungen auf Rundungsfehler behafteten Artihmetiken beruht.