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Arbeitsgruppe 2: Numerik partieller Differentialgleichungen

Sekretariat
Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Zimmer 3.012

Adresse
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Institut für Angewandte und
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Öffnungszeiten:
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Tel.: 0721 608 42680

Fax.: 0721 608 46679

Numerik mit Ergebnisverifikation I (Sommersemester 2006)

Dozent: Prof. a.D. Dr. Edgar Kaucher
Veranstaltungen: Vorlesung (01611)
Semesterwochenstunden: 4
Hörerkreis: Techno-, Wirtschafts-, DiplomMathematik, Mathematik auf Lehramt (ab 5. Semester)


Kurzbeschreibung

Numerik mit Ergebnisverifikation I

ist eine Einführungsvorlesung in die Theorie und Praxis der Intervallrechnung.

Diese 4-stündige Vorlesung entwickelt die benötigten Elemente und kann daher relativ selbstständig gehört werden. (Kenntnisse aus der Vorlesung „Numerik I“ sind vorteilhaft).

Termine
Vorlesung: Dienstag 8:00-9:30 Seminarraum 12
Donnerstag 11:30-13:00 Seminarraum 12

Kontext der Vorlesung

Diese 4-stündige Vorlesung ist Teil I eines im 2-semestrigen Zyklus „Numerik mit Ergebnisverifikation“ I, II mit insgesamt 8 (gegf. mit Übungen) bis bis 12 Wochenstunden.

Derzeit ist der Zyklus:

Im Sommersemester „Numerik mit Ergebnisverifikation I“
Im Wintersemester „Numerik mit Ergebnisverifikation II“

Der „Verifikationsprozess“ ist ein automatisierten, algorithmischer Beweis für mathematische Aussagen über die dadurch gleichzeitig berechnete Lösung, wie zum Beispiel (lokale) Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen. Außerdem sind damit Einschließungsmengen (Mengen, deren Durchmesser die Berechnungsgenauigkeit sichern und i.d.R. beliebig vorgegeben werden kann) berechnet in denen die Lösung mit mathematischer Garantie enthalten ist.

„Verifikation“ bedeutet, dass alle numerischen Ergebnisse durch programmierte Beweisschritte in ihrer Zuverlässigkeit gesichert sind. Diese hohe Sicherheitsanforderung wird immer mehr zum Qualitätsstandard in den technologischen und industriellen Applikationen. „Verifikation“ ist gleichbedeutend mit „Mathematisch bewiesen“ obwohl die Berechnungen mit rundungsfehlerbehafteten Arithmetiken durchge-führt werden können.

Die hergeleiteten Methoden sind die Grundlage für numerische Verifikationsprozesse (auf Rechnern), welche massive Anwendung finden im Risikomanagement und in Zuverlässigkeitsanalysen bei Modellen, Formeln und Programmen, bis hin zu Beweisen von mathematischen Theoremen.

Inhalt

Es wird in der Vorlesung zunächst eingeführt in die Intervallrechnung, welche die Grundlage für numerische Verifikationsprozesse (auf Rechnern) ist.
Anhand des Modells der reellen Intervalle wird in das „Algebraische Rechnen mit Mengen“ eingeführt, womit ein Modell entwickelt wird für automatisierbare (programmierbare) Kalküle, in denen die Elemente der Topologie in Form von einfach darstellbaren Mengen (hier zunächst Intervalle) mit den üblichen algebraischen Verknüpfungsstrukturen der reellen und komplexen Zahlen zu einer neuen, höheren algebraischen und numerisch effizienten Rechenstruktur zusammengefasst werden.

Im weiteren Verlauf der Vorlesung werden Verifikationsprozesse und ihre verschiedenen Typen eingeführt. Ferner werden Verfahren entwickelt zur verifizierten Lösung von Nullstellenproblemen mit einer Variablen, von linearen und nichtlinearen Gleichungssystemen, wie auch von kontinuierlichen Mengen von Gleichungssystemen. Auch die Anwendung zur verifizierten Lösung von Eigenwertproblemen und Methoden zur Berechnung von verifizierten Funktionswerten wie auch die von (höheren) Ableitungen von diffŽbaren Funktionen, ohne die Funktionen explizit zu differenzieren

Anand des Modells der reellen Intervalle wird in das „Rechnen mit Mengen“ eingeführt, womit ein Modell entwickelt wird für automatisierbare (programmierbare) Kalküle, in denen die Elemente der Topologie in Form von einfach darstellbaren Mengen (hier zunächst Intervalle) mit den üblichen algebraischen Verknüpfungsstrukturen der reellen und komplexen Zahlen zu einer neuen, höheren algebraischen und numerisch effizienten Rechenstruktur zusammengefasst werden.