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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Arbeitsgruppe 3: Wissenschaftliches Rechnen

Numerische Fortsetzungsmethoden

Numerische Fortsetzungsmethoden

Numerische Fortsetzungsmethoden (Wintersemester 2016/17)

Dozent*in: Dr. Daniel Weiß
Veranstaltungen: Vorlesung (0109500), Übung (0109510)
Semesterwochenstunden: 2+2

Termine
Vorlesung:	Montag 9:45-11:15	SR 3.61
Übung:	Mittwoch 14:00-15:30	SR 3.68

Lehrende
Dozent, Übungsleiter	Dr. Daniel Weiß
	Sprechstunde: donnerstags um 15:00 Uhr
	Zimmer 3.043 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: daniel.weiss@kit.edu

Viele interessante Probleme der Mathematik lassen sich durch Systeme der Form $F(x,\lambda)=0$ beschreiben, wobei $x$ die Zustandsvariablen und $\lambda$ Parameter sind. Solche Probleme sind z. B. Randweltprobleme, Phänomene der Verzweigungstheorie und der Theorie Dynamischer Systeme (u.a. die Berechnung von Umkehrpunkten, Hopfverzweigungen, stationären Zuständen und periodischen Orbits). Aber auch nichtlineare Systeme der Form $F(x)=0$ , die schwierig zu lösen sind, lassen sich durch Einführung eines Parameters über Parameterfortsetzung ausgehend von einem einfacheren Problem $G(x)=0$ durch $H(x,\lambda)=\lambda F(x)+(1-\lambda)G(x)=0$ lösen.

Wir werden unter anderem folgende Fragen untersuchen:

Wie hängt die Lösungsmenge vom Parameter $\lambda$ ab?

Ändert sich bei Änderung von $\lambda$ die Struktur der Lösungsmenge oder die Eigenschaften der Lösungen?

Was genau ist eine numerische Fortsetzungsmethode?

Wie und unter welchen Voraussetzungen lässt sich die Lösungsmenge ausgehend von einer Lösung $(x_0,\lambda_0)$ durch numerische Fortsetzungsmethoden berechnen?

Die Vorlesung zeichnet sich dadurch aus, dass Inhalte der Analysis, der Linearen Algebra und der Numerik 1 ihre Anwendung finden ohne das eine eigene komplexe Theorie aufgebaut werden muss. Die Vorlesung bietet daher die Gelegenheit bereits Kennengelerntes durch interessante Anwendung zu vertiefen und besser zu verstehen.

Es werden auf der Ilias-Seite alle Materialien zur Vorlesung, die Übungsblätter und bei Interesse ein Diskussions-Forum bereitgestellt.

Literaturhinweise

E. L. Allgower, K. Georg: Introduction to Numerical Continuation Methods, SIAM, 2003.
P. Deuflhard: Newton Methods for Nonlinear Problems, Affine Invariance and Adaptive Algorithms, Springer 2004.
E. J. Doedel: Lecture Notes on Numerical Analysis of Nonlinear Equations, In: Numerical Continuation Methods for Dynamical Systems, Hrsg. B. Krauskopf, H. M. Osinga, J. Galán-Vioque, Springer, 2007.
H. B. Keller: Lectures on Numerical Methods in Bifurcation Problems, Springer, 1986.
B. Marx, W. Vogt: Dynamische Systeme - Theorie und Numerik, Spektrum Akademischer Verlag, 2011.