Finite Elemente Methoden (Wintersemester 2014/15)
- Dozent*in: Prof. Dr. Christian Wieners
- Veranstaltungen: Vorlesung (0110300), Übung (0110400)
- Semesterwochenstunden: 4+2
Viele Vorgänge in Natur, Technik und Wirtschaft lassen sich mit Hilfe partieller Differentialgleichungen (engl. Partial Differential Equations, kurz: PDEs) beschreiben. Um quantitative Aussagen über den Verlauf dieser Vorgänge zu machen, ist man daher an Lösungen dieser PDEs interessiert. Allerdings ist es in praktischen Anwendungen nur in Ausnahmefällen möglich, eine analytische Lösung zu bestimmen. An dieser Stelle kommt die Numerik ins Spiel, die das unendlichdimensionale Problem durch ein "ähnliches", endlichdimensionales Problem - die Diskretisierung - ersetzt, welches effizient mit einem Computer gelöst werden kann.
| Termine | ||
|---|---|---|
| Vorlesung: | Montag 11:30-13:00 | 1C-02 |
| 11:30-13:00 | ||
| Freitag 11:30-13:00 | 1C-02 | |
| Übung: | Mittwoch 9:45-11:15 | Z 1 |
| Lehrende | ||
|---|---|---|
| Dozent, Übungsleiter | Prof. Dr. Christian Wieners | |
| Sprechstunde: Dienstag 09:30 - 10:30 Uhr | ||
| Zimmer 3.041 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: christian.wieners@kit.edu | Übungsleiter | Dr. Johannes Ernesti |
| Sprechstunde: Nach Vereinbarung | ||
| Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: johannes.ernesti@kit.edu | ||
Die Finite Elemente Methode (FEM) liefert Funktionenräume, die sich besonders gut für die Diskretisierung partieller Differentialgleichungen eignen. Die Grundidee besteht darin, das Rechengebiet in eine endliche Anzahl "ähnlicher" Zellen, z.B. Dreiecke (in 2D) oder Tetraeder (in 3D), zu zerlegen und Funktionen zu betrachten, die eingeschränkt auf eine solche Zelle von "einfacher" Gestalt sind. Ein typisches Beispiel eines FE-Raumes ist der Raum
der stetigen Funktionen
, deren Einschränkung
auf jede Zelle
der Zerlegung eine lineare Funktion ist.
Für die Lösung partieller Differentialgleichungen mit der Finite Elemente Methode ist die klassische Lösungstheorie nicht geeignet - z.B. ist ein stückweise lineares im Allgemeinen nicht differenzierbar, sodass
keine Lösung der PDE im klassischen Sinne sein kann. In der Vorlesung wird daher die schwache Ableitung zusammen mit den relevanten Sobolevräumen definiert und der Begriff der schwachen Lösung einer PDE eingeführt.
Die Vorlesung ist folgendermaßen aufgebaut:
- Mathematische PDE-Modelle
- Variationelle Formulierung einer PDE in geeigneten Funktionenräumen
- Interpolationstheorie für FE-Räume
- Einführung der Finite Elemente Methode (insbesondere Konvergenz/Stabilität)
- Praktische Aspekte der FEM (u.a. Simplizidiale Elemente, Konsistenzfehler und Kubatur)
- Nichtkonforme und gemischte FEM und Sattelpunktprobleme am Beispiel der Stokes-Gleichung
Gegen Ende des Semesters werden je nach verfügbarer Zeit ausgewählte Themen aus der Vorlesung Numerik für Partielle Differentialgleichungen II (WS2010/11) behandelt.
Die Vorlesung "Einführung in das Wissenschaftliche Rechnen" ist komplementär zur Vorlesung "Finite Elemente Methoden" und mehr praktisch orientiert, sodass beide Veranstaltungen unabhängig voneinander besucht werden können.
Kenntnisse aus dem Modul "Differentialgleichungen und Hilberträume" sind hilfreich, aber nicht erforderlich.
Mailingliste
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Folien
Folien 1 - PDE-Modelle
Folien 2 - Schwache Ableitungen
Folien 3 - Triangulierungen und elementare Finite Elemente
Folien 4 - Galerkin-Verfahren
Folien 5 - Interpolation und Approximation
Folien 6 - Lagrange-Elemente
Folien 7 - Petrov-Galerkin-Methoden
Folien 8 - Gemischte Finite-Elemente-Methoden
Folien 9 - Discontinuous-Galerkin-Methoden
Übungsblätter
| 1. Übungsblatt (1. Korrigierte Version) | -- | Besprechung: 29. Oktober 2014 |
| 2. Übungsblatt | -- | Besprechung: 03. November 2014 (1C-02) |
| -- | (Lösungsvorschlag für Aufgabe 3) | |
| 3. Übungsblatt | -- | Besprechung: 12. November 2014 |
| -- | (Lösung eines Laplace-Problems mit unstetigen Randdaten) | |
| 4. Übungsblatt | -- | Besprechung: 17. November 2014 |
| 5. Übungsblatt | -- | Besprechung: 26. November 2014 |
| 6. Übungsblatt | -- | Besprechung: 03. Dezember 2014 |
| 7. Übungsblatt | -- | Besprechung: 10. Dezember 2014 |
| 8. Übungsblatt | -- | Besprechung: 17. Dezember 2014 |
| 9. Übungsblatt | -- | Besprechung: 07. Januar 2015 |
| 10. Übungsblatt | -- | Besprechung: 14. Januar 2015 |
| 11. Übungsblatt | -- | Besprechung: 21. Januar 2015 |
| 12. Übungsblatt | -- | Besprechung: 28. Januar 2015 |
| 13. Übungsblatt | -- | Besprechung: 04. Februar 2015 |
| 14. Übungsblatt | -- | Besprechung: 11. Februar 2015 |
Prüfung
Je nach Höreranzahl wird eine schriftliche oder mündliche Prüfung am Semesterende angeboten.
Neben der Vorlesung wird wöchentlich eine Übung abgehalten, um den Vorlesungsstoff zu vertiefen und zu ergänzen. Der Inhalt der Übungen bereitet auch auf die Prüfung vor.
Literaturhinweise
Knabner/Angermann: Numerik partieller Differentialgleichungen, Springer 2000
Braess: Finite Elemente, Springer 2013
Ciarlet: The finite element method for elliptic problems. North-Holland.
Deuflhard/Bornemann: Numerische Mathematik III, de Gruyter 2002
Brenner/Scott: The Mathematical Theory of Finite Element Methods, Springer 2008
Ern/Guermond: Theory and Practice of Finite Elements, Springer 2004