Webrelaunch 2020

Inverse Probleme (Wintersemester 2012/13)

Termine
Vorlesung: Dienstag 11:30-13:00 1C-04
Mittwoch 11:30-13:00 Z 1
Übung: Freitag 8:00-9:30 Z 2
Lehrende
Dozent Prof. Dr. Andreas Rieder
Sprechstunde: Montag, 14:00-15:00Uhr, und nach Vereinbarung
Zimmer 3.040 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: andreas.rieder(at)kit.edu
Übungsleiter Dr. Robert Winkler
Sprechstunde:
Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: robert (punkt) winkler (bei) posteo (punkt) de

Inverse Probleme treten in der heutigen Hochtechnologie häufig auf. Immer wenn man von einer beobachteten (gemessenen) WIRKUNG auf deren URSACHE schließen möchte, liegt ein inverses Problem vor.

So wird in der Computer-Tomographie die Abminderung von Röntgenstrahlen gemessen beim Durchgang durch ein Objekt (z.B. menschlicher Körper). Die Ursache der Abminderung ist die Dichte des Objekts. Ein anderes Beispiel stellen Streuprobleme dar: hier wird die Streuung von Schallwellen oder elektromagnetischen Wellen an einem Objekt beobachtet, hervorgerufen durch die Form oder die elektrischen Eigenschaften des Objekts, auf die man schließen möchte.

Aus mathematischer Sicht bestehen inverse Probleme darin, Operatorgleichungen zu lösen. Dabei modelliert eine Abbildung F\colon X\to Y das direkte Problem, d.h. wie die URSACHE die WIRKUNG impliziert. Die Mengen X und Y beinhalten die Ursachen (Parameter) bzw. die Wirkungen (Daten). Das inverse Problem lautet nun: finde zu gegebenem y\in Y ein x\in X, so daß F(x)=y ist.

Eine besondere Herausforderung bei inversen Problemen ist ihre inhärente Schlechtgestelltheit: kleine Änderungen in y (z.B. Meßrauschen, Rundungsfehler) ziehen große Änderungen in x nach sich (F^{-1} ist unstetig). Diese Fehlerverstärkung muß im Lösungsprozeß durch geeignete Maßnahmen gedämpft werden: inverse Probleme müssen regularisiert, d.h. stabilisiert werden.

In der Vorlesung werden verschiedene Regularisierungsverfahren vorgestellt, analysiert und verglichen. Darüber hinaus wird auch deren numerische Realisierung betrachtet.

Alle notwendigen Resultate aus der Funktionalanalysis werden im Zuge der Lehrveranstaltung bereitgestellt.

Matlab-Demo

Die in der Vorlesung vorgeführten numerischen Beispiele finden Sie hier im HTML-
und hier im PDF-Format.

Hinweise zum Übungsbetrieb

Die Übungsblätter enthalten zwei Aufgabentypen:

Übungsaufgaben werden von Ihnen bearbeitet und können im Einwurfkasten oder direkt vor der nächsten Übung abgegeben werden. Die Lösungen werden in der Übung vorgestellt (gerne auch von Ihnen).

Präsenzaufgaben werden selbstständig oder gemeinsam von Ihnen in der Übung erarbeitet.