Inverse Probleme (Wintersemester 2014/15)
- Dozent*in: Prof. Dr. Andreas Rieder
- Veranstaltungen: Vorlesung (0105100), Übung (0105200)
- Semesterwochenstunden: 4+2
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| Termine | |||
|---|---|---|---|
| Vorlesung: | Dienstag 14:00-15:30 | Z 2 | Beginn: 21.10.2014 |
| Donnerstag 14:00-15:30 | Z 2 | ||
| Übung: | Montag 15:45-17:15 | Z 2 | Beginn: 27.10.2014 |
| Lehrende | ||
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| Dozent | Prof. Dr. Andreas Rieder | |
| Sprechstunde: Bis auf weiteres nur nach Vereinbarung, | ||
| Zimmer 3.040 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: andreas.rieder(at)kit.edu | Übungsleiter | Dr. Robert Winkler |
| Sprechstunde: | ||
| Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: robert (punkt) winkler (bei) posteo (punkt) de | ||
Inverse Probleme treten in der heutigen Hochtechnologie häufig auf. Immer wenn man von einer beobachteten (gemessenen) WIRKUNG auf deren URSACHE schließen möchte, liegt ein inverses Problem vor.
So wird in der Computer-Tomographie die Abminderung von Röntgenstrahlen gemessen beim Durchgang durch ein Objekt (z.B. menschlicher Körper). Die Ursache der Abminderung ist die Dichte des Objekts. Ein anderes Beispiel entstammt der Geophysik: In der seismischen Tomographie werden Schallwellen durch kontrollierte Explosionen erzeugt, die ins Erdreich propagieren und dort reflektiert werden. Aus Messungen des Schalldrucks auf der Erdoberfläche oder im Meer sollen Schallgeschwindigkeit und Massendichte im Erdinnern bestimmt werden.
Aus mathematischer Sicht bestehen inverse Probleme darin, Operatorgleichungen zu lösen. Dabei modelliert eine Abbildung das direkte Problem, d.h. wie die URSACHE die WIRKUNG impliziert. Die Mengen
und
beinhalten die Ursachen (Parameter) bzw. die Wirkungen (Daten). Das inverse Problem lautet nun: finde zu gegebenem
ein
, so daß
ist.
Eine besondere Herausforderung bei inversen Problemen ist ihre inhärente Schlechtgestelltheit: kleine Änderungen in (z.B. Meßrauschen, Rundungsfehler) ziehen große Änderungen in
nach sich (
ist unstetig). Diese Fehlerverstärkung muß im Lösungsprozeß durch geeignete Maßnahmen gedämpft werden: inverse Probleme müssen regularisiert, d.h. stabilisiert werden.
In der Vorlesung werden verschiedene Regularisierungsverfahren vorgestellt, analysiert und verglichen. Darüber hinaus wird auch deren numerische Realisierung betrachtet.
Alle notwendigen Resultate aus der Funktionalanalysis werden im Zuge der Lehrveranstaltung bereitgestellt.
Matlab-Demo
Die in der Vorlesung vorgeführten numerischen Beispiele finden Sie hier im HTML- und hier im PDF-Format.
Literaturhinweise
- H. Engl, M. Hanke, A. Neubauer: Regularization of Inverse Problems, Kluwer, 1996
- A. Kirsch: An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Springer, 2011
- A.K. Louis: Inverse und schlecht-gestellte Probleme, Teubner, 1989
- A. Rieder: Keine Probleme mit Inversen Problemen, Vieweg, 2003
Weiterführende Literatur
- L. Beilina, M. Klibanov: Approximate Global Convergence and Adaptivity for Coefficient Inverse Problems, Springer, 2012
- S. Kabanikhin: Inverse and Ill-Posed Problems, de Gruyter, 2012
- O. Scherzer (ed.): Handbook of Mathematical Methods in Imaging, Springer, 2011
- T. Schuster, B. Kaltenbacher, B. Hofmann, K. S. Kazimierski: Regularization methods in Banach spaces, de Gruyter, 2012
Die Bücher von Kirsch, Beilina und Scherzer können über das KIT-Netz (vpn-Zugang) im PDF-Format von der Verlagsseite geladen werden.