Inverse Probleme (Wintersemester 2021/22)
- Dozent*in: Prof. Dr. Andreas Rieder
- Veranstaltungen: Vorlesung (0105100), Übung (0105110)
- Semesterwochenstunden: 4+2
Die Veranstaltung findet in Präsenz statt unter Einhaltung der 3G-Regel: An Präsenz-Lehrveranstaltungen darf gemäß der aktuellen Corona-Verordnung Studienbetrieb des Landes Baden-Württemberg nur teilnehmen, wer über einen 3G-Nachweis (geimpft, getestet oder genesen) verfügt. Ungeimpfte Personen benötigen einen tagesaktuellen Corona-Test, der die Vorgaben der Corona-Verordnung erfüllt. Studierende, die weder genesen noch vollständig geimpft sind, sind selbst verantwortlich für die Beibringung eines Testnachweises. Außerdem werden bei jedem Termin die Kontaktdaten der Anwesenden erfaßt.
Inhalt der Veranstaltung
Inverse Probleme treten in der heutigen Hochtechnologie häufig auf. Immer wenn man von einer beobachteten (gemessenen) WIRKUNG auf deren URSACHE schließen möchte, liegt ein inverses Problem vor.
So wird in der Computer-Tomographie die Abminderung von Röntgenstrahlen gemessen beim Durchgang durch ein Objekt (z.B. menschlicher Körper). Die Ursache der Abminderung ist die Dichte des Objekts. Ein anderes Beispiel entstammt der Geophysik: In der seismischen Tomographie werden Schallwellen durch kontrollierte Explosionen erzeugt, die ins Erdreich propagieren und dort reflektiert werden. Aus Messungen des Schalldrucks auf der Erdoberfläche oder im Meer sollen Schallgeschwindigkeit und Massendichte im Erdinnern bestimmt werden.
Aus mathematischer Sicht bestehen inverse Probleme darin, Operatorgleichungen zu lösen. Dabei modelliert eine Abbildung das direkte Problem, d.h. wie die URSACHE die WIRKUNG impliziert. Die Mengen
und
beinhalten die Ursachen (Parameter) bzw. die Wirkungen (Daten). Das inverse Problem lautet nun: finde zu gegebenem
ein
, so daß
ist.
Eine besondere Herausforderung bei inversen Problemen ist ihre inhärente Schlechtgestelltheit: kleine Änderungen in (z.B. Meßrauschen, Rundungsfehler) ziehen große Änderungen in
nach sich (
ist unstetig). Diese Fehlerverstärkung muß im Lösungsprozeß durch geeignete Maßnahmen gedämpft werden: inverse Probleme müssen regularisiert, d.h. stabilisiert werden.
In der Vorlesung werden verschiedene Regularisierungsverfahren vorgestellt, analysiert und verglichen. Darüber hinaus wird auch deren numerische Realisierung betrachtet.
Alle notwendigen Resultate aus der Funktionalanalysis werden im Zuge der Lehrveranstaltung bereitgestellt.
Zu dieser Vorlesung gibt es eine ILIAS-Kursseite, auf die Vorlesungsmaterial und Übungsblätter hochgeladen werden.
| Termine | ||
|---|---|---|
| Vorlesung: | Dienstag 12:00-13:30 | 20.30 SR 3.68 |
| Donnerstag 10:00-11:30 | 20.30 SR 3.61 | |
| Übung: | Mittwoch 14:00-15:30 | 20.30 SR 3.69 |
| Lehrende | ||
|---|---|---|
| Dozent | Prof. Dr. Andreas Rieder | |
| Sprechstunde: Bis auf weiteres nur nach Vereinbarung, | ||
| Zimmer 3.040 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: andreas.rieder(at)kit.edu | Übungsleiter | Dr. Christian Rheinbay |
| Sprechstunde: | ||
| Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: christian.rheinbay@kit.edu | ||
Literaturhinweise
- H. Engl, M. Hanke, A. Neubauer: Regularization of Inverse Problems, Kluwer, 1996
- A. Kirsch: An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Springer, 2021
- A.K. Louis: Inverse und schlecht-gestellte Probleme, Teubner, 1989
- A. Rieder: Keine Probleme mit Inversen Problemen, Vieweg, 2003
Weiterführende Literatur
- L. Beilina, M. Klibanov: Approximate Global Convergence and Adaptivity for Coefficient Inverse Problems, Springer, 2012
- O. Scherzer (ed.): Handbook of Mathematical Methods in Imaging, Springer, 2011
- T. Schuster, B. Kaltenbacher, B. Hofmann, K. S. Kazimierski: Regularization methods in Banach spaces, de Gruyter, 2012
Die Bücher von Kirsch, Beilina und Scherzer können über das KIT-Netz (vpn-Zugang) im PDF-Format von der Verlagsseite geladen werden.