Der Modellansatz: Modell050 - Klothoiden
Bei genauem Hinsehen finden wir die Naturwissenschaft und besonders Mathematik überall in unserem Leben, vom Wasserhahn über die automatischen Temporegelungen an Autobahnen, in der Medizintechnik bis hin zum Mobiltelefon. Woran die Forscher, Absolventen und Lehrenden in Karlsruhe gerade tüfteln, erfahren wir im Modellansatz Podcast aus erster Hand.
Klothoiden sind Kurven, die 1794 von Jakob I. Bernoulli zuerst beschrieben wurden. Er hatte die Form eines Metallstreifens untersucht, der von einem Gewicht an einem Ende verbogen wird, während das andere Ende eingespannt ist. Als Resultat des elastischen Verhaltens ist dann die Krümmung proportional zur Kurvenlänge. Viele weitere Eigenschaften von Kurven mit dieser Eigenschaft wurden dann von Leonhard Euler über den Rahmen des Gedankenexperiments von Bernoulli hinaus bewiesen, wie zum Beispiel die Position der asymptotischen Endpunkte.
Im Straßen- und Schienenbau sind Klothoiden ausgezeichnete Übergangsbögen zwischen geraden Strecken und Kurven, da diese Kurve die Krümmung zwischen den beiden Abschnitten gleichmäßig anpasst. Bei der Planung von Schienentrassen wurde diese Eigenschaft vor etwa 100 Jahren schon ausgenutzt. Eine aktuelle wichtige Anwendung ist die Abbildung der Straßen in Fahrassistenzsystemen, wo passend parametrisierte Klothoiden große Vorteile gegenüber Splines besitzen, wie Gotami Heller im Gespräch mit Gudrun Thäter erklärt.
Um Klothoiden tatsächlich im Computermodell benutzen zu können, muss eine möglichst adäquate Approximation gesucht und implementiert werden, die die nötige Glattheit in der Kurve erhält.
Literatur und Zusatzinformationen
- M. Bäumker: Rechenverfahren der Ingenieurvermessung
- http://www.eecs.berkeley.edu/Pubs/TechRpts/2008/EECS-2008-111.pdf: R. Levien: The Euler spiral, a mathematical history, Technical Report University of Carlifornia at Berkeley, UCB/EECS-2008-111, 2008.
- D. Khosla: Accurate estimation of forward path geometry using two-clothoid road model, Intelligent Vehicle Symposium, 2002. IEEE. Vol. 1. IEEE, 2002.