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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik
Arbeitsgruppe 3: Wissenschaftliches Rechnen

Der Modellansatz: Modell055 - L-Funktionen

modellansatz.de/l-funktionen

Bei genauem Hinsehen finden wir die Naturwissenschaft und besonders Mathematik überall in unserem Leben, vom Wasserhahn über die automatischen Temporegelungen an Autobahnen, in der Medizintechnik bis hin zum Mobiltelefon. Woran die Forscher, Absolventen und Lehrenden in Karlsruhe gerade tüfteln, erfahren wir im Modellansatz Podcast aus erster Hand.

Der Modellansatz: L-Funktionen. Foto: Fabian Januszewski, Visualisierung: Gamma-Funktion Eugene Jahnke, Fritz Emde (1909) Public Domain, Komposition: Sebastian Ritterbusch

Eine alte Fragestellung lautet, was die Summe der Kehrwerte aller natürlicher Zahlen ist. Mit anderen Worten: existiert der Grenzwert der Harmonischen Reihe \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} ? Die Antwort, die man im ersten Semester kennenlernen ist: Diese Reihe ist divergent, d.h. der Wert ist nicht endlich. Über die spannenden Entwicklungen in der Zahlentheorie, die sich daraus ergeben, berichtet Fabian Januszewski im Gespräch mit Gudrun Thäter.

Eine zur harmonischen Reihe verwandte Fragestellung lautet: Wie steht es um den Wert von \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} ? Diese Frage wurde im 17. Jahrhundert aufgeworfen und man wußte, daß der Wert dieser Reihe endlich ist. Allerdings kannte man den exakten Wert nicht. Diese Frage war als das sogannte Basel-Problem bekannt. Eine ähnliche Reihe ist

$\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{n(n+1)}.$

Ihr Wert läßt sich elementar bestimmen:

$\begin{array}{rcl}\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{2}{n(n+1)}&=&\displaystyle1+ \frac{1}{3} + \frac{1}{6}+ \frac{1}{10}+\cdots \ &=&\displaystyle2\left(\frac{1}{2}+ \frac{1}{6} + \frac{1}{12}+ \frac{1}{20}+\cdots\right)\ &=& \displaystyle2\left(\left(1-\frac{1}{2}}\right) + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots\right)=2\,.\end{array}$

Dies war lange bekannt, aber das Basel-Problem war ungleich schwieriger: Es blieb fast einhundert Jahre lang ungelöst. Erst Leonhard Euler löste es 1741:

$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\,.$

Die Riemann'sche \zeta-Funktion

Die Geschichte der L-Reihen beginnt bereits bei Leonhard Euler, welcher im 18. Jahrhundert im Kontext des Basel-Problems die Riemann'sche \zeta-Funktion'

$\displaystyle\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$

entdeckte und zeigte, dass sie der Produktformel

$\displaystyle\zeta(s)=\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s}}$

genügt, wobei p die Menge der Primzahlen durchläuft und s>1 eine reelle Variable ist. Diese Tatsache ist äquivalent zum Fundamentalsatz der Arithmetik: jede natürliche Zahl besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung.

Eulers Lösung des Basel-Problems besagt, daß \zeta(2)=\pi^2/6 und diese Formel läßt sich auf alle geraden positiven Argumente verallgemeinern:

$\zeta(2k)=(2\pi i)^{2k}\cdot\left(-\frac{B_{2k}}{2(2k)!}\right),$

wobei B_{2k}\in\mathbb Q^\times die 2k-te Bernoulli-Zahl bezeichnet.

Im 19. Jahrhundert zeigte Bernhard Riemann, dass die a priori nur für {\rm Re}(s)>1,\;s\in{\mathbb C} konvergente Reihe \zeta(s) eine holomorphe Fortsetzung auf {\mathbb C}-\{1\} besitzt, einer Funktionalgleichung der Form s \mapsto 1-s genügt und einen einfachen Pol mit Residuum 1 bei s=1 aufweist. Letztere Aussage spiegelt die Tatsache wieder, dass in \mathbb Z jedes Ideal ein Hauptideal ist und \pm1 die einzigen multiplikativ invertierbaren Elemente sind. Weiterhin weiß \zeta(s) viel über die Verteilung von Primzahlen.

Setzen wir

$\displaystyle \Lambda(s):=\pi^{-s/2}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)\,,$

dann zeigte Riemann, daß die so definierte vervollständigte Riemann'sche \zeta-Funktion auf ganz \mathbb C-\{0,1\} holomorph ist und der Funktionalgleichung \Lambda(s)=\Lambda(1-s) genügt. Da die \Gamma-Funktion Pole bei nicht-positiven ganzzahligen Argumenten besitzt, ergibt sich hieraus die Existenz und Lage der sogenannten "trivialen Nullstellen" von \zeta(s): \zeta(-2k)=0 für k\geq 1.

Konzeptionell sollte man sich den Faktor \pi^{-s/2}\Gamma(\frac{s}{2}) als Eulerfaktor bei \infty vorstellen. John Tate zeigte in seiner berühmten Dissertation, daß dies tatsächlich sinnvoll ist: Die endlichen Eulerfaktoren werden von Tate als Integrale über \mathbb Q_p^\times interpretiert, und der "unendliche" Eulerfaktor ist ebenfalls durch ein entsprechendes Integral über \mathbb R^\times gegeben. Er legte damit den Grundstein für weitreichende Verallgemeinerungen.

Die Riemann'sche \zeta-Funktion ist der Prototyp einer L-Funktion, einem Begriff, der langsam Schritt für Schritt verallgemeinert wurde, zunächst von Richard Dedekind, Lejeune Dirichlet und Erich Hecke und weiter von Emil Artin, Helmut Hasse, André Weil, Alexander Grothendieck, Pierre Deligne, Jean-Pierre Serre und Robert Langlands et al. L-Funktionen spielen in der modernen Zahlentheorie eine zentrale Rolle, und bis heute ranken sich fundamentale Vermutungen um diesen Begriff.

Selbst die Mysterien der Riemann'schen \zeta-Funktion sind auch heute bei weitem nicht vollständig ergründet. Die berühmteste Vermutung in diesem Kontext ist die Riemann'sche Vermutung. Riemann zeigte 1859 nicht nur, daß die Riemann'sche \zeta-Funktion eine holomorphe Fortsetzung auf {\mathbb C}-\{1\} besitzt, sondern stellte auch einen engen Zusammenhang zwischen der Verteilung der Primzahlen und den Nullstellen von \zeta(s) her. Eulers Produktenwicklung von \zeta(s) für {\rm Re}(s)>1 zeigt, dass stets \zeta(s)\neq für {\rm Re}(s)>1. Aus der Funktionalgleichung von \zeta(s) ergibt sich, dass \zeta(-k)=0 für natürliche Zahlen k>0. Die sind die sogenannten trivialen Nullstellen der \zeta-Funktion. Riemann vermutete, dass sämtliche nicht-trivialen Nullstellen auf der Geraden {\rm Re}(s)=\frac{1}{2} liegen.

Euler bestimmte im wesentlichen die Werte \zeta(2k) für positives k. Bis heute wissen wir sehr wenig über die Werte \zeta(2k+1) an positiven ungeraden Argumenten. Ein Satz von Apéry besagt, daß \zeta(3) irrational ist. Wir haben allerdings keine einfache Formel für diesen Funktionswert. Konzeptionell unterscheiden sich die ungeraden von den geraden positiven Argumenten darin, daß der in \Lambda(1-s) auftretende Faktor der \Gamma-Funktion für ungerades positives s dort einen Pol besitzt, was ebenfalls das Verschwinden von \zeta(-2k) zur Folge hat.

Über die Werte an negativen ungeraden Argumenten wissen wir aus der Funktionalgleichung, daß \zeta(1-2k)=-\frac{B_{2k}}{2k}\in\mathbb Q^\times. Insbesondere gilt \zeta(-1)=-\frac{1}{12}. Dieser Wert kann in gewissen Kontexten als Grenzwert (der divergierenden!) Reihe

$1+2+3+\cdots=\sum_{n=1}^\infty n^{1}=\sum_{n=1}^\infty n^{-s}|_{s=-1}=\zeta(-1)$

interpretiert werden (formal ergeben diese Identitäten natürlich keinen Sinn). In gewissen Situationen ist der Funktionswert \zeta(-1)=-\frac{1}{12} ein sinnvoller endlicher Ersatz für den nicht existierenden Grenzwert der Reihe 1+2+3+\cdots. Derartige Phänomene treten in Zahlentheorie an vielen Stellen auf.

Kubota-Leopoldts p-adische \zeta-Funktion

Kummer entdeckte 1851 die erstaunliche Relation \frac{B_{2k}}{2k}\equiv\frac{B_{2l}}{2l}\pmod{p} wenn l\equiv k\pmod{(p-1)}, wobei p eine Primzahl ist. Dies ist nach Eulers Formel für \zeta(2k) bzw. \zeta(1-2k) äquivalent zu \zeta(1-2k)\equiv\zeta(1-2l)\pmod{p} für l\equiv k\pmod{(p-1)}. Kummer nutzte dieses Kriterium, um Fermats Großen Satz für reguläre Primzahlen zu beweisen. Er zeigte, daß ein enger Zusammenhang zwischen der p-Teilbarkeit der Bernoulli-Zahlen bzw. der \zeta-Werte und Klassengruppen von p-Kreisteilungskörpern besteht.

Kubota und Leopoldt verallgemeinerten 1964 Kummers Kongruenzen und zeigten (1-p^{2k-1})\zeta(1-2k)\equiv(1-p^{2l-1})\zeta(1-2l)\pmod{p^{n+1}} für l\equiv k\pmod{(p-1)p^n}. Dies sagt nichts anderes, als daß die Funktion k\mapsto (1-p^{2k-1})\zeta(1-2k)\in\mathbb Q bezüglich des p-adischen Absolutbetrages stetig ist. Insbesondere setzt sich diese Funktion eindeutig zu einer stetigen Funktion \zeta_p:\mathbb Z_p\to\mathbb Q_p fort. Kubota und Leopoldt zeigen, daß diese Funktion nicht nur stetig, sondern auch p-adisch analytisch ist mit einem einzigen einfachen Pol und ebenfalls einer Funktionalgleichung genügt.

Hier ist hervorzuheben, daß es a priori überhaupt nicht klar ist, daß sich die rein analytisch definierten komplexen Funktionswerte der Riemann'schen \zeta-Funktion an gewissen Stellen rational sind und sich p-adisch derart gutartig verhalten.

Die berühmte Leopoldt-Vermutung sagt voraus, daß die p-adischen \zeta-Funktionen von Zahlkörpern, welche die p-adischen Inkarnationen der Dedekind'schen \zeta-Funktionen sind, ebenfalls einen einzigen einfachen Pol besitzen. Diese Vermutung ist nur für abelsche Erweiterungen von \mathbb Q bekannt. Der allgemeine Fall ist weiterhin offen und gilt als ein fundamentales und sehr schwieriges Problem der modernen Zahlentheorie. Die Leopoldt-Vermutung impliziert Aussagen über die Struktur der absoluten Galois-Gruppe von \mathbb Q.

L-Funktionen elliptischer Kurven

Eine elliptische Kurve ist eine glatte projektive Kurve E vom Geschlecht 1. In Charakteristik 0 läßt sich jede solche Kurve E durch eine Weierstraß-Gleichung der Gestalt Y^2=X^3+aX+b. Wenn a,b\in\mathbb Q sprechen wir von elliptischen Kurven über \mathbb Q. Wenn für eine Primzahl p die Koeffizienten a und b sogar p-ganz sind (das trifft auf alle bis auf endlich viele Primzahlen zu), können wir die Kurve E modulo p betrachten und erhalten auf diese Weise für alle bis auf endlich viele Primzahlen eine elliptische Kurve E_p über dem endlichen Körper \mathbb F_p. Auf E_p liegen nur endlich viele Punkte, deren Anzahl wir mit a_p bezeichnen. Einer solchen Primzahl ordnen wir den Euler-Faktor (1-a_pp^{-s}+p^{1-2s})^{-1} zu. Für diejenigen Primzahlen, für welche wir keine glatte Kurve über \mathjbb F_p erhalten, läßt sich ebenfalls ein Eulerfaktor definieren. Diese sind von der Gestalt (1-a_pp^{-s})^{-1}, wobei a_p=0 möglich ist.

Das Produkt all dieser Eulerfaktoren ergibt die Hasse-Weil L-Funktion L(s,E) der elliptischen Kurve E. Ein fundamentaler Satz von Helmut Hasse besagt, daß |a_p-(p+1)|\leq 2\sqrt{p}. Daher konvergiert L(s,E) für {\rm Re}(s)>\frac{3}{2} absolut und läßt sich dort zu einer Reihe der Form L(s,E)=\sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s} ausmultiplizieren, wobei a_p die gleiche Bedeutung wie zuvor hat. Die Vermutung von Hasse-Weil besagt, daß L(s,E) eine holomorphe Fortsetzung auf ganz \mathbb C besitzt und die vervollständigte L-Funktion \Lambda(s,E):=(2\pi)^{-s}\Gamma(s)L(s,E) einer Funktionalgleichung \Lambda(s,E)=\varepsilon(s)\Lambda(2-s,E) mit einer expliziten Funktion \varepsilon(s) genügt.

Die L-Funktion kodiert also die Lösbarkeit der definierenden Gleichung modulo aller Primzahlen p. Daher sprechen wir auch davon, daß L(s,E) durch "lokale Daten" von E definiert ist, sie kodiert das Verhalten von E "bei den Primzahlen". Spannend daran ist, daß wir vermuten, daß L(s,E) sehr viel über die Struktur von E über \mathbb Q verrät.

Die \mathbb Q-rationalen Punkte auf E bilden eine endlich erzeugte abelsche Gruppe E(\mathbb Q). Diese ist daher zwangläufig von der Form E(\mathbb Q)=\mathbb Z^r+T, wobei T eine endliche abelsche Gruppe ist. Die Zahl r\geq 0 wird als der "geometrische Rang" von E bezeichnet. Er quantifiziert intuitiv, wieviele Lösungen die Gleichung Y^2=X^3+aX+b mit X,Y\in\mathbb Q besitzt. Beispielsweise gilt r=0 genau dann, wenn die Anzahl der Lösungen endlich ist.

Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer sagt voraus, daß der geometrische Rang r mit der Verschwindungsordnung von L(s,E) bei s=1 übereinstimmt. Letztere Größe wird daher auch als der analytische Rang bezeichnet. Die Birch-und-Swinnerton-Dyer-Vermutung setzt voraus, daß der Funktionswert L(0,E) wohldefiniert ist (genau genommen sogar, daß die L-Funktion bei s=0 holomorph ist!), was aufgrund der Definition der L-Funktion als Euler-Produkt a priori überhaupt nicht klar ist. Eine genauere Formulierung der Vermutung sagt sogar den ersten von null verschiedenen Taylorreihen-Koeffizienten der L-Funktion bei s=0 voraus.

Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer läßt sich als Lokal-Global-Prinzip interpretieren: obwohl in die Definition von L(s,E) lediglich die Information eingeht, wieviele Lösungen die Gleichung Y^2=X^3+aX+b in \mathbb F_p eingeht, verrät uns L(s,E) nach Birch und Swinnerton-Dyer (hypothetisch!) wieviele Lösungen es in \mathbb Q gibt.

Die Vermutung von Hasse-Weil ist dank Heckes Arbeiten eine Konsequenz der berühmten Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung, welche besagt, daß es zu jeder elliptischen Kurve E über \mathbb Q eine Modulform f von Gewicht 2 existiert, mit der Eigenschaft f bei \infty die Fourierentwicklung f(z)=\sum_{n=1}^\infty a_n q^n besitzt, wobei die Koeffizienten a_n aus der L-Funktion von E stammen. Dies ist nach Hecke äquivalent zu L(s,E)=L(s,f).

Diese Vermutung wurde von Richard Taylor und Andrew Wiles für semi-stabile elliptische Kurven bewiesen, was einen Beweis von Fermats Großem Satz zur Folge hatte: die Gleichung X^n+Y^n=Z^n besitzt für n\geq 3 keine nicht-trivialen Lösungen.

Inzwischen wissen wir, daß die Taniyama-Shimura-Vermutung und damit auch die Hasse-Weil-Vermutung nach Breuil-Conrad-Diamond-Taylor sogar für jede elliptische Kurve über \mathbb Q gilt. Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer ist nur in wenigen Spezialfällen bekannt bleibt ein bis heute ungelöstes Problem.

Für L-Funktionen elliptischer Kurven lassen sich ebenfalls p-adische Pendants, sogenannte p-adische L-Funktione definieren.

Allgemeine L-Funktionen

Grothendiecks Arbeiten zur étalen Kohomologie der Schemata erlauben es uns, allgemeinen glatten projektiven Varietäten über \mathbb Q "geometrisch definierte" L-Funktionen zuzuordnen. Konkret handelt es sich bei der étalen Kohomologie einer glatten projektiven Varietät um einen endlichdimensionalen {\mathbb Q}_\ell-Vektorraum H_\ell, auf welchem die absolute Galois-Gruppe operiert. In der absoluten Galois-Gruppe gibt es für jede Primzahl p ein ausgezeichnetes (bis auf Konjugation eindeutiges) Element: das sogenannte Frobenius-Element. Wir definieren dann die L-Funktion als ein Eulerprodukt über die Kehrwerte der charakteristischen Polynome der Frobenius-Elemente, ausgewertet jeweils bei p^{-s}. Fundamentale Eigenschaften dieses Euler-Produktes wie beispielsweise die Unabhängigkeit von der Primzahl \ell, sind Konsequenzen der bis heute offenen Standard-Vermutungen Grothendiecks. Die von Pierre Deligne 1974 bewiesenen Weil'schen Vermutungen implizieren, dass das Euler-Produkt in einer rechten Halbebene absolut konvergiert.

Die verallgemeinerte Vermutung von Hasse-Weil sagt voraus, dass jede auf diese Weise "geometrische definierte" L-Funktion eine meromorphe Fortsetzung mit nur endlich vielen Polstellen auf ganz \mathbb C besitzt und einer Funktionalgleichung genügt. Weiterhin sollen alle auftretenden Polstellen im wesentlichen durch den einzigen Pol der Riemann'schen \zeta-Funktion erklärt werden.

Analog läßt sich für geometrische L-Funktionen eine verallgemeinerte Riemann'sche Vermutung formulieren, welche Konsequenzen für die Verteilung von Punkten (und Untervarietäten, allgemeiner algebraische Zykel) auf algebraischen Varietäten über \mathbb Q hätte. Ironischerweise wird die Konvergenz des Eulerprodukt in der Definition der geometrischen L-Funktionen genau genommen durch die Riemann'sche Vermutung für \zeta-Funktionen von Varitäten über endlichen Körpern impliziert, welche Deligne tatsächlich zeigen konnte, obwohl die ursprüngliche Riemann'sche Vermutung bis heute offen ist.

Weitreichende Vermutungen von Langlands sagen voraus, daß jede geometrische L-Funktion mit einer sogenannten automorphen L-Funktion übereinstimmt. Letztere werden automorphen Darstellungen zugeordnet, welche wiederum Verallgemeinerungen von Modulformen sind. In gewissen Situationen können wir diesen L-Funktionen ebenfalls p-adische L-Funktionen gegenüberstellen.


Literatur und Zusatzinformationen

  • Haruzo Hida, Elementary theory of L-functions and Eisenstein series, Cambridge University Press, 1993.
  • Jean-Pierre Serre, "Cours d'arithmétique", Presses Universitaires de France, 1970.
  • Goro Shimura, "Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions." Princeton University Press, 1971.
  • Jürgen Neukirch, Algebraische Zahlentheorie, Springer Verlag, 1992.
  • André Weil, Basic Number Theory, Springer Verlag, 1973.
  • Podcast Modellansatz 036: Analysis und die Abschnittskontrolle
  • Bernhard Riemann, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1859
  • John T. Tate, "Fourier analysis in number fields, and Hecke's zeta-functions", Algebraic Number Theory (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965), Thompson, 1950, S. 305–347.
  • Andrew Wiles, "Modular Elliptic Curves and Fermat’s Last Theorem." Annals of Mathematics 142, 1995, S. 443–551.
  • Richard Taylor, Andrew Wiles, "Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras." Annals of Mathematics 142, 1995, S. 553–572.
  • Brian Conrad, Fred Diamond, Richard Taylor, "Modularity of certain potentially Barsotti-Tate Galois representations", Journal of the American Mathematical Society 12, 1999, S. 521–567.
  • Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, Richard Taylor, "On the modularity of elliptic curves over Q: wild 3-adic exercises", Journal of the American Mathematical Society 14, 2001, S. 843–939.
  • Frobeniushomomorphismus
  • Galois-Darstellungen
  • Weil-Vermutungen
  • Standard-Vermutungen
  • Automorphe Formen
  • Das Langlands-Programm
  • Wikipedia: Automorphe L-Funktionen
  • Emil Artin, Über eine neue Art von L-Reihen, Abh. Math. Seminar Hamburg, 1923.
  • Armand Borel, "Automorphic L-functions", in A. Borel, W. Casselman, "Automorphic forms, representations and L-functions" (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Oregon, 1977), Teil 2, Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, American Mathematical Society, 1979, S. 27–61.
  • Robert P. Langlands, "Problems in the theory of automorphic forms", in "Lectures in modern analysis and applications III," Lecture Notes in Math 170, 1970, S. 18–61.
  • Robert P. Langlands, '"'Euler products", Yale University Press, 1971.
  • Wikipedia: Spezielle Werte von L-Funktionen
  • Pierre Deligne; "Valeurs de fonctions L et périodes d’intégrales." , in A. Borel, W. Casselman, "Automorphic forms, representations and L-functions" (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Oregon, 1977)'', Teil 2, Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, American Mathematical Society, 1979, S. 313–346.