Das Charakteristikenverfahren

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein.

Am Ende können Sie die Auswertung abrufen, darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.

1) Gegeben sei die folgende partielle Differentialgleichung für $u:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$

$(u+x_1)\frac{\partial u}{\partial x_1} + (x_2 u^2+x_1)\frac{\partial u}{\partial x_2}-\sin(x_1)=u\,.$

Welche der folgenden gewöhnlichen Differentialgleichungen sind im charakteristischen System für $(k_1,k_2,w)^\top$ enthalten?

2) Bei einer partiellen Differentialgleichung für $u:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ ist die Anfangskurve durch

$x_2=2\,,\quad ux_1=3$

gegeben. Welche der folgenden Parametrisierungen sind für diese Anfangskurve richtig, welche falsch?

3) Für eine quasilineare Differentialgleichung wurden die folgenden Charakteristiken berechnet:

$\begin{array}{rcl}k_1(s)&=&\sqrt{2C_1C_2-s}\k_2(s)&=&C_2(s+1)+2C_3\w(s)&=&\exp(s)C_3\end{array}$

Gegeben sind zwei unterschiedliche Anfangsbedingungen und vier mögliche Lösungen. Wählen Sie die korrekten Lösungen zu den beiden Anfangskurven aus.

	ja, ist im System	nein, nicht im System
a) $k_1'=x_1+u$
b) $w'=\cos(k_1)-w$
c) $k_2'=k_2w^2+k_1$
d) $w'=\sin(k_1)$
e) $k_1'=k_1+w$
f) $w'=\sin(k_1)+w$

	richtig	falsch
a) $\Gamma=\{(2,t,3t)^\top, t\in\mathbb{R}\}$
b) $\Gamma=\{(\frac3t,2,t)^\top, t\in\mathbb{R}\}$
c) $\Gamma=\{(2,t,\frac3t)^\top, t\in\mathbb{R}\}$
d) $\Gamma=\{(t,2,\frac3t)^\top, t\in\mathbb{R}\}$
e) $\Gamma=\{(t,2,3t)^\top, t\in\mathbb{R}\}$

	a)	$u(1,x_2)=x_2$	b)	$u(0,2t)=t$
1) $\displaystyle u(x)=\frac12x_2\exp(-x_1^2)$
2) $\displaystyle u(x)=x_2\exp(x_1x_2-x_2)$
3) $\displaystyle u(x)=\frac{x_2}{x_1^2}\exp(1-x_1^2)$
4) $\displaystyle u(x)=\frac{x_2-x_1}2\exp(x_1)$