Webrelaunch 2020

Das Separationsverfahren

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein.

Am Ende können Sie die Auswertung abrufen, darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.

1) Gegeben sei die folgende partielle Differentialgleichung für u:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}

$\frac{\partial u}{\partial x_1} + \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}+2u=0\,.$

Markieren Sie welche durch einen Parameter k\in\mathbb{R} gekoppelten Differentialgleichungspaare Sie bei einer Separation der Form u(x)=v(x_1)w(x_2) erhalten können:

1)v'-kv=02)v'+(2-k)v=03)v'+kv=04)v'+(2+k)v=0
a) w''+kw=0
b) w''+(2+k)w=0
c) w''+(2-k)w=0


2) Wir betrachten bei einer Separation nach Polarkoordinaten

$u(r,\varphi)=v(r)w(\varphi)$

unterschiedliche homogene Randbedingungen für r\geq 0, bzw. \varphi\in[0,2\pi]. Markieren Sie, welche Randbedingungen für die Funktionen v und w jeweils folgen, wenn man triviale Lösungen ausschließen will:

1)w(0)=02)w(1)=03)v(0)=04)v(1)=0
a) u(r,0)=0
b) u(1,\varphi)=0
c) |u(r,1)|=-|u(0,\varphi)|


3) Mit einem Separationsansatz wurde die folgende allgemeine Lösung bestimmt, die alle homogenen Bedingungen erfüllt:

$u(x)=\sum_{k=1}^\infty a_k \sin(x_1)\cos\left(\sqrt{9-k^2}x_2\right)$

Bestimmen Sie unter den folgenden gegebenen Funktionen

$\begin{array}{rcl}f_1(x)&=&\sin(4x_1)\cosh(\sqrt7 x_2)\f_2(x)&=&\sin(2x_1)+\cos(2x_2)-1\f_3(x)&=&3\sin(x_1)\cos(3x_2)-\sin(3x_1)\f_4(x)&=&\sin(2x_1)\cos(\sqrt5 x_2)\end{array}$

die korrekten Lösungen zu den verschiedenen gegebenen inhomogenen Bedingungen:

1) u(x)=f_1(x) 2) u(x)=f_2(x)3) u(x)=f_3(x)4)u(x)=f_4(x)
a) u(x_1,0)=\sin(2x_1)
b) u(x_1,0)=4\sin^3(x_1)
c) u(x_1,0)=\sin(4x_1)