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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Integralgleichungen

Integralgleichungen

Integralgleichungen (Sommersemester 2010)

Dozent*in: Prof. i. R. Dr. Andreas Kirsch
Veranstaltungen: Vorlesung (1572), Übung (1573)
Semesterwochenstunden: 4+2
Hörerkreis: Mathematik, Physik, Ingenieurwissenschaften (4.-10. Semester)

Die Vorlesung richtet sich an Studierende aller Mathematikstudiengänge ab etwa dem 4. Semester. Behandelt werden Integralgleichungen zweiter Art und deren Lösungstheorie, die Riesz-Fredholm-Theorie. Weitere Themen sind die Fouriertransfomation und die Behandlung von Faltungsgleichungen.

Voraussetzung zum Verständnis des behandelten Stoffes sind die Grundvorlesungen bis Analysis 3. Notwendige Hilfsmittel der Funktionalanalysis werden in der Vorlesung bereitgestellt. Die Vorlesung kann aber auch als Vertiefung und Anwendung der aus der Funktionalanalysis bekannten Begriffe und Methoden angesehen werden.

Termine
Vorlesung:	Montag 9:45-11:15	1C-03
	Donnerstag 9:45-11:15	1C-03
Übung:	Montag 15:45-17:15	1C-04

Lehrende
Dozent	Prof. i. R. Dr. Andreas Kirsch
	Sprechstunde: nach Vereinbarung
	Zimmer 0.011 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: Andreas.Kirsch@kit.edu
Übungsleiter	Dr. Andreas Helfrich-Schkarbanenko Dr.
	Sprechstunde:
	Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email:

Zum Inhalt der Vorlesung

Eine Gleichung der Form

$u(t) - \int_a^b k(t,s) \, u(s) \, ds = f(t), \qquad t \in (a,b),$

bei der die Unbekannte Funktion $u$ zu bestimmen ist, bezeichnet man als eine (Fredholm)-Integralgleichung zweiter Art. Die wesentliche Fragestellung der Vorlesung ist, unter welchen Umständen eine solche Gleichung eindeutig lösbar ist. Eine Reihe von Aspekten hat hierauf Einfluss, hier eine Auswahl:

Die Glattheit der Kernfunktion k des Integraloperators ist wesentlich für seine Abbildungseigenschaften. Wir werden im wesentlichen stetige oder schwach singuläre Kerne betrachten, die auf kompakte Integraloperatoren führen.
Der Raum, in dem die Lösung gesucht wird, kann unterschiedlich gewählt werden. Typischerweise betrachtet man solche Integralgleichungen in den Räumen $C[a,b]$ oder in $L^2(a,b)$ .
Die Intervallgrenzen a, b haben in sofern einen wesentlichen Einfluss, dass kompakte Intervalle zu einem ganz anderen Verhalten der Integraloperatoren führen als unbeschränkte Intervalle.

In einem großen Teil der Vorlesung wollen wir uns mit der Theorie für solche Integralgleichungen auseinandersetzen, der Riesz-Fredholm Theorie. Die Beweise der drei Rieszschen Sätze und der Fredholmschen Alternative bilden hierbei das Ziel. Im weiteren Verlauf beschäftigen wir uns mit Erweiterungen und Anwendungen dieser Begriffe, etwa mit der Potenzialtheorie.

Bei Faltungsintegralgleichungen ist der Integraloperator im Allgemeinen nicht kompakt, sodass andere Methoden erforderlich sind. In der Vorlesung werden wir auch solche Gleichungen diskutieren. Ziel ist der Satz von Wiener, der zusammen mit den Abbildungseigenschaften der Fouriertransformation eine allgemeine Loesungstheorie liefert.

Übungsblätter

Begleitend zur Vorlesung gibt es Übungsblätter und eine Übung, in der der Stoff der Vorlesung an Aufgaben vertieft und eingeübt werden kann.

Datum	Übungsblatt	Lösungen
19.4.2010	Blatt 1	Loesung
26.4.2010	Blatt 2	Loesung
3.5.2010	Blatt 3	Loesung
10.5.2010	Blatt 4	Loesung
17.5.2010	Blatt 5	Loesung
24.5.2010	Blatt 6	Loesung
31.5.2010	Blatt 7	Loesung
7.6.2010	Blatt 8	Loesung
14.6.2010	Blatt 9	Loesung
21.6.2010	Blatt 10	Loesung
28.6.2010	Blatt 11	Loesung
5.7.2010	Blatt 12	Loesung

Skriptum (pdf-Dateien)

Kapitel 1-6

Fragebogen

Es gibt einen kleinen Fragebogen zum Selbsttest mit Aufgaben zur Vorlesung- wir freuen uns über Korrekturen, aber auch Eindrücke und Meinungen zur Nutzung solcher Lehrmedien.

Literaturhinweise

Literatur wird in der Vorlesung bekanntgegeben.