Webrelaunch 2020

Inverse Probleme (Wintersemester 2023/24)

Termine
Vorlesung: Dienstag 14:00-15:30 20.30 0.19
Freitag 8:00-9:30 20.30 SR 3.61
Übung: Donnerstag 15:45-17:15 20.30 SR 3.68
Lehrende
Dozent Prof. Dr. Roland Griesmaier
Sprechstunde: Dienstag, 14:00-15:00 Uhr
Zimmer 1.040 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: roland.griesmaier@kit.edu
Übungsleiter Dr. Marvin Knöller
Sprechstunde: Freitag 10:30-12:00 Uhr
Zimmer 1.038 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: marvin.knoeller@kit.edu
Übungsleiter M. Sc. Raphael Schurr
Sprechstunde: Mittwoch, 15.00-16.00 Uhr
Zimmer 1.039 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: raphael.schurr@kit.edu

Inhalt der Lehrveranstaltung:
Ein mathematisches Problem, dessen Lösung nicht stetig von den gegebenen Daten abhängt, heißt nach Hadamard schlecht gestellt. Prominente Beispiele treten in der mathematischen Formulierung von Methoden der medizinischen Bildgebung, wie zum Beispiel Röntgentomographie, Ultraschalltomographie, oder elektrische Impedanztomographie, sowie in der seismischen Bildgebung, bei Radarverfahren oder inversen Streuproblemen auf.

Die in diesem Zusammenhang verwendeten mathematischen Modelle führen häufig auf Integraltransformationen oder Differentialgleichungen. Das Ziel ist allerdings in der Regel nicht die Transformation auszuwerten oder die Gleichung zu lösen, sondern die Transformation zu invertieren oder Parameter der Differentialgleichung aus (eingeschränkter) Kenntnis der Lösung zu rekonstruieren. Daher werden diese Problemstellungen inverse Probleme genannt.

Standardverfahren der numerischen Mathematik versagen im Allgemeinen, wenn sie ohne weiteres auf schlecht gestellte Probleme angewendet werden -- das Problem muss regularisiert werden. Die Vorlesung gibt eine Einführung in den funktionalanalytischen Hintergrund von Regularisierungsverfahren für lineare schlecht gestellte Probleme. Notwendige Resultate aus der Funktionalanalysis werden im Zuge der Lehrveranstaltung bereitgestellt.

Voraussetzungen:
Lineare Algebra 1-2, Analysis 1-3.

Literatur:

  • W. Cheney, Analysis for Applied Mathematics, Springer-Verlag, New York, 2001.
  • H. Engl, M. Hanke, and A. Neubauer, Regularization of Inverse Problems, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1996.
  • M. Hanke, A Taste of Inverse Problems. Basic Theory and Examples, SIAM, Philadelphia, 2017.
  • A. Kirsch, An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, 3rd ed., Springer-Verlag, New York, 2021.
  • R. Kress, Linear Integral Equations, 3rd ed., Springer-Verlag, New York, 2014.
  • A. Rieder, Keine Probleme mit inversen Problemen, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 2003.