KIT - Fakultät für Mathematik - Streutheorie (Sommersemester 2023)

$Webrelaunch 2020$

Fakultät für Mathematik

Startseite

Institute

Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Streutheorie

Streutheorie

Streutheorie (Sommersemester 2023)

Dozent*in: Prof. Dr. Roland Griesmaier
Veranstaltungen: Vorlesung (0156950), Übung (0156960)
Semesterwochenstunden: 4+2

Inhalt:

Zentraler Gegenstand dieser Vorlesung sind zeitharmonische Streuprobleme für akustische, elektromagnetische oder elastische Wellen, die sich durch die skalare Helmholtzgleichung modellieren lassen. Hierzu bezeichne $u^i$ eine einfallende Welle, welche Lösung der Helmholtzgleichung

$\Delta u^i + k^2 u^i = 0 \quad \text{in } \; \mathbb{R}^3$

ist. Wir modellieren ein Streuobjekt $D$ mithilfe eines Brechungsindex $n^2 \in L^\infty_0(\mathbb{R}^3)$ , wobei $n^2 = 1$ ausserhalb von $D$ angenommen wird. Weiterhin betrachten wir einen möglichen Quellterm $f \in L^2_0(\mathbb{R}^3)$ . Das Streuproblem besteht nun darin eine Funktion $u = u^i + u^s$ zu finden, sodass

$\Delta u + k^2n^2 u = f \quad \text{in } \; \mathbb{R}^3,$

zusammen mit einer Ausstrahlungsbedingung für das gestreute Feld $u^s$ erfüllt sind.

Wir beschäftigen uns zunächst mit der Lösbarkeit des direkten Problems.

Hierbei seien der Brechungsindex $n^2$ , sowie das einfallende Feld $u^i$ und der Quellterm $f$ gegeben. Es gilt das gestreute Feld $u^s$ zu bestimmen. Wir untersuchen insbesondere die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen in einem geeigneten Lösungsraum.

Außerdem betrachten wir zwei inverse Probleme.

Beim inversen Quellproblem sei das einfallende Feld $u^i=0$ und der Brechungsindex erfülle $n^2=1$ im gesamten $\mathbb{R}^3$ . Zu gegebenen Beobachtungen des gestreuten Feldes $u^s$ soll nun Information über den Quellterm $f$ rekonstruiert werden.
Beim inversen Streuproblem hingegen seien keine Quellen präsent, d.h. $f = 0$ . Anhand von gegebenen einfallenden Feldern $u^i$ und gegebenen Beobachtungen der zugehörigen gestreuten Felder $u^s$ möchten wir nun den Brechungsindex $n^2$ bzw. den Träger des Streuobjekts $D$ rekonstruieren.

Termine
Vorlesung:	Montag 9:45-11:15	SR 2.058
	Dienstag 11:30-13:00	SR 3.069
Übung:	Freitag 9:45-11:15	SR -1.025 (UG)

Lehrende
Dozent	Prof. Dr. Roland Griesmaier
	Sprechstunde: Dienstag, 14:00-15:00 Uhr
	Zimmer 1.040 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: roland.griesmaier@kit.edu

Literatur:

A. Kirsch. An introduction to the mathematical theory of inverse problems. Springer, Cham, third edition, 2021.
D. Colton and R. Kress. Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory. Springer, Cham, fourth edition, 2019.
W. McLean. Strongly elliptic systems and boundary integral equations. Cambridge University Press, Cambridge, 2000.