Selbsttest 2 - Folgen und Konvergenz

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein.

Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

Sind Ihnen alle Begriffe klar?
Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Dr. Sven Heumann . Am Ende können Sie die Auswertung abrufen, darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.

1) Welche der folgenden Aussagen sind korrekt? (Bearbeiten Sie zunächst diese Aufgabe. Ist Ihnen dabei alles klar, können Sie Aufgabe 2 bearbeiten. Ansonsten sollten Sie sich mit den Begrifflichkeiten noch einmal vertraut machen. Falls Sie sich bei einer Aussage nicht sicher sind, versuchen Sie ein Gegenbeispiel zu finden.)

Eine Nullfolge ist konvergent.
Eine konvergente Folge ist eine Nullfolge.
Eine konvergente Folge ist monoton.
Eine monotone Folge ist konvergent.
Hat die Folge einen Häufungspunkt, so ist die Folge beschränkt.
Eine beschränkte Folge besitzt einen Häufungspunkt.
Es gibt unbeschränkte Folgen, die einen Häufungspunkt besitzen.
Es gibt Folgen $(x_n)$ , die einen Häufungspunkt besitzen und für die $\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=\infty$ .
Ist $(x_n)$ eine konvergente Folge und $(y_n)$ eine Folge mit $\lvert y_n\rvert\leq\lvert x_n\rvert$ , so ist $(y_n)$ konvergent.
Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Ist $(x_n)$ eine konvergente Folge, so ist der Grenzwert eindeutig bestimmt.

2) Gegeben sei je eine Folge in $\mathbb{C}$ , welche durch folgende Vorschrift für $n\in\mathbb{N}$ bestimmt ist.
a) Welche Eigenschaften erfüllt diese Folge?

b) Für die Folge $(a_n)$ gilt:

$(a_n)$ besitzt einen Grenzwert.
$(a_n)$ besitzt einen Häufungspunkt.

	$0$	$2$	$1$
Geben Sie gegebenenfalls den Häufungspunkt an:

c) Geben Sie den Grenzwert von $(f_n)$ an:

3) Seien $a,b,c\in\mathbb{R}_{\geq 0}$ . Bestimmen Sie $\lim_{n\rightarrow\infty}(a^n+b^n+c^n)^{\frac{1}{n}}$ .

Hinweis: Verwenden Sie das Einschließungskriterium und schätzen Sie ab.

In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Dr. Sven Heumann Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.

	$a_n=\left(1+(-1)^n\right)^n$	$b_0=2$ ; $b_{n+1}=b_n^2$	$c_n=\sqrt[n]{a}$ , $a\in\mathbb{R}_{+}$	$d_0=1$ ; $d_{n+1}=1+\frac{d_n}{2}$	$e_n=\frac{a^n}{n!}$ , $a\in\mathbb{C}$	$f_n=\frac{(n-1)^3-(n+2)^3}{4+3n^2+2n}$
beschränkt
konvergent
divergent
Nullfolge
strebt gegen unendlich
besitzt konvergente Teilfolge
monoton