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Test 3

Selbsttest 3 - Funktionen und Stetigkeit

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein.
Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

  1. Sind Ihnen alle Begriffe klar?
  2. Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
  3. Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Dr. Sven Heumann . Am Ende können Sie die Auswertung abrufen, darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.




1) Geben Sie das größtmögliche Intervall an, auf welchem die jeweilige Funktion umkehrbar ist.

(a)(b)(c)(d)
(a)(b)(c)(d)
\mathbb{R}
\mathbb{R}_{\geq 0}
\mathbb{R}_{>0}
\left\{x\in\mathbb{R}:x\geq 1\right\}
\left\{x\in\mathbb{R}:x>1\right\}
\left\{x\in\mathbb{R}:0\leq x\leq \pi\right\}
\left\{x\in\mathbb{R}:0\leq x<\pi\right\}
\left\{x\in\mathbb{R}:0<x<\pi\right\}




2) Gegeben sei die Funktion f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} mit
f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\dfrac{x^2-x}{x^2-3x+2},&\mbox{falls }x \notin \mathbb{N} &\dfrac{4x-6}{x+1},&\mbox{falls }x\in\mathbb{N}\end{array}
In welchen Stellen ist die Funktion f stetig?

x=\frac{1}{2}x=1x=-1x=3x=2x=4




3) Die Funktion f sei durch folgenden Graphen gegeben:

Ferner seien p(x)=a_2x^2+a_1x+a_0 und q(x)=b_2x^2+b_1x+b_0 so, dass f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}.
1. Bestimmen Sie a_0:
2. Welchen Wert hat b_1:



4) Seien p(z) und q(z) komplexe Polynome der Form p(z)=z^m+a_{m-1}z^{m-1}+\ldots+a_1z+a_0, bzw. q(z)=z^n+b_{n-1}z^{n-1}+\ldots+b_1z+b_0 wobei m,n\in\mathbb{N}. Der Betrag der Polynome sei durch folgende Zeichnungen gegeben:

|p(z)||q(z)|

a) Welches ist der minimale Grad von p?
b) Sind die a_k\,(k=1,\ldots,m) reellwertig?
c) Welches ist der minimale Grad von q?
d) Sind die b_l\,(l=1,\ldots,n) reellwertig?




5) Gegeben sei das Polynom p(x)=x^4+x^3-5x^2+3x.
a) Geben Sie die Nullstellen des Polynoms an:
b) Entwickeln Sie p um den Punkt x_0=1
p(x)= (x-1)^4+ (x-1)^3+ (x-1)^2+ (x-1)+
c) Entwickeln Sie p um den Punkt x_0=-1
p(x)= (x+1)^4+ (x+1)^3+ (x+1)^2+ (x+1)+



(Hilfe)


In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Dr. Sven Heumann Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.