FAQ zur HM2
FAQ zur HM2
Hier finden Sie Antworten auf Fragen, die in Sprechstunden zur Vorlesung Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen BIW, CIW, Mach, MaGe, VT besonders aufgefallen sind. Die Antworten sind knapp gehalten und versuchen nur die besonderen Knackpunkte hervorzuheben- allgemein sollte man sich zu den Themen auch die Lösungen zu den Übungsblättern und die jeweiligen Abschnitte im Skript ansehen. Bitte beachten Sie auch die Maple Worksheets, die Ihnen begleitend zu den Vorlesungen HM I, II und III zur Verfügung stehen. Bei Fragen zu dieser Liste wenden Sie sich an Prof. Dr. Sebastian Ritterbusch oder Dr. Karsten Kremer .
Basistransformationen
Wie stelle ich die Basistransformationsmatrix auf?
Die Darstellungen von Vektoren und Matrizen ist grundsätzlich von der gewählten Basis abhängig. Wurden keine weiteren Angaben gemacht, so setzt man die Standardbasis, z.B. im die Vektoren
,
und
voraus:
Wählt man eine andere Basis , z.B.
,
und
(diese Vektoren sind bezüglich der Standardbasis definiert), so bedeutet
Setzt man nun für die Vektoren deren Darstellungen zur Standardbasis ein, so erhält man die Darstellung eines Vektors zur Standardbasis:
Komplizierter ist es hier, einen Vektor zur Standardbasis in einen Vektor zur Basis umzurechnen, dazu muss man ein LGS lösen, und erhält z.B.
Diese Umrechnungen sind lineare Abbildungen und können deshalb mit Basiswechselmatrizen beschrieben werden. Eine Basiswechselmatrix zur Transformation einer Basisdarstellung bzgl.
zur Darstellung bzgl. Standardbasis erfüllt also
und man hat mit der Inversen auch gleich die Transformation von der Standardbasis zur Darstellung bzgl.
, diese würde hier also
erfüllen. Man kann sich überlegen, wie man geschickt aufstellen kann: Da
und die Bilder dieser Vektoren gerade die Spalten der Matrix sind, erhalten wir die folgende Transformationsmatrix zur Transformation von Darstellungen bzgl. der Basis
zu Darstellungen bzgl. der Standardbasis (und daneben gleich auch die Inverse):
Achtung! Die Matrix ist eine Abbildung von Darstellungen bzgl.
zu Darstellungen bzgl. der Standardbasis, aber es gilt
! Das erscheint zunächst überraschend, aber geht man die Überlegungen oben durch, erhält man genau dieses Ergebnis.
Die Hauptanwendung solcher Basiswechselmatrizen ist die Transformation von Abbildungsmatrizen bzgl. einer Basis zu einer anderen Basis, oft einer Basis aus Eigenvektoren. Ist z.B. eine Abbildung durch die folgende Matrix bzgl. der Standardbasis gegeben
so ist , was ist aber das Bild von
zur Basis
? Dazu müssen wir den Vektor erst zur Standardbasis bestimmen, wir erhielten
. Diesen Vektor können wir an
anmultiplizieren und erhalten
und letztlich wandeln wir das Ergebnis mit
wieder in eine Darstellung bzgl.
um und erhalten
.
Alternativ kann man auch die Matrix in eine Matrix
bzgl. der Basis
umrechnen: Nehmen wir die vorangegangenen Schritte zusammen, so erhalten wir
und können jetzt viel schneller das Bild von bestimmen, denn
. Generell nehmen Abbildungsmatrizen bzgl. einer Basis von Eigenvektoren (wie hier) Diagonalform an.
Alles klar? Beim Selbsttest 4 gibt es eine Aufgabe zum Ausprobieren!
Potenzreihenansatz
Wie bestimmt man die allgemeine Lösung mit Hilfe des Potenzreihenansatzes?
Wir betrachten hier den Fall einer Differentialgleichung 2.Ordnung:
Diese hat zwei linear unabhängige Lösungen . Wir machen den Potenzreihenansatz
Zur Berechnung einer Lösung muss man Anfangswerte in der Form vorgeben. Die beiden einfachsten Möglichkeiten sind:
Das entspricht der Wahl der Einheitsvektoren bei der Bestimmung des kanonischen Fundamentalsystems. Betrachten wir nun die Potenzreihenentwicklung von , so sehen wir
also und
Analog erhalten wir für
:
und
.
Lineare Differentialgleichungen
Wann ist eine Differentialgleichung linear?
Die allgemeine Form einer linearen Differentialgleichung ist
(Hierbei ist .) Die gesuchte Funktion
und ihre Ableitungen treten also nur linear auf (also insbesondere nicht quadratrisch). Die Koeffizienten
können von
abhängen und müssen nicht linear in
sein. Beispielsweise kann
durchaus quadratisch vorkommen.
Beispiel einer linearen Diffentialgleichung: .
Beispiel einer nicht-linearen Diffentialgleichung: Bernoullische Dgl.
Wichtig: Nur wenn eine lineare Differentialgleichung vorliegt, lässt sich die lineare Theorie anwenden, lässt sich also eine Lösung als Summe der Lösung der homogenen Differentialgleichung und einer speziellen Lösung berechnen.
Alles klar? Beim Selbsttest 1 (Themen: Mengenoperationen, LGSe) können Sie bei der ersten und dritten Aufgabe Ihr Wissen auf die Probe stellen.
Eine Anwendung der Kettenregel
Wie benutzt man die Kettenregel, um die Funktion abzuleiten?
Die Kettenregel sagt aus, dass die Ableitung einer Funktion , die durch
definiert ist, folgendermaßen berechnet werden kann: man leitet zunächst
ab, setzt
in diese Ableitung ein, und (Matrix-)multipliziert dann noch mit der Ableitung von
:
Wenn wir das auf die Funktion anwenden wollen, müssen wir zunächst ein
finden, so dass
gilt. Offensichtlich muß von
nach
abbilden, damit
überhaupt Sinn macht.
ist also ein Vektor mit zwei Komponenten. Wegen
muß die erste Komponente gleich
sein, und die zweite Komponente von
muß
sein:
Dann (und genau dann) gilt nämlich , und wir können die Kettenregel ausrechnen um
auszurechnen:
Das letzte Produkt ist eine Matrixmultiplikation: ist eine
-Matrix und
ist eine
-Matrix, das Produkt ist also wieder eine Zahl (ein Skalar). Das muss auch so sein, denn
ist eine skalare Funktion. Alternativ kann man natürlich auch schreiben
.
Noch ein Beispiel zur Verdeutlichung: Wenn , dann ist
und für
ergibt sich mit
Natürlich geht das alles analog, wenn man die innere Funktion durch andere steitig differenzierbare Funktionen von
nach
ersetzt.
Die geometrische Interpretation der Richtungsableitung
Wie kann man sich eigentlich eine Richtungsableitung vorstellen?
Die Richtungsableitung einer Funktion, sagen wir mal, um es einfach zu machen, vom nach
in Richtung
, ist definiert als
In der Vorlesung haben Sie gelernt, dass man diese Richtungsableitung einfach ausrechnen kann als
Wenn man sich den Graph der Funktion als Fläche im
vorstellt (als "Gebirge"), dann gibt die Richtungsableitung am Punkt
in Richung
an, wie steil der Anstieg von
am Punkt
in Richtung
ist. Wenn man sich vorstellt, am Punkt
im Gebirge zu stehen und in Richtung
schaut, dann ist die Richtungsableitung
ein Maß für die Steigung des Gebirges in Richtung
. Das hängt damit zusammen, dass die Richtungsableitung an einem Punkt
gerade die (skalare!) Ableitung der eindimensionalen Funktion
ist (Warum? Kettenregel!). Übrigens ist die Richtungsableitung
auch gerade die Steigung der Tangentialebene von
am Punkt
in Richtung
.