Selbsttest 1 (Themen: Mengenoperationen, LGSe)

linear homogen

linear inhomogen

nicht linear

separabel

autonom

Bernoulli-DGL (*)

a) $0=y'(x)y(x)$

b) $0=y'(x)+x^2y(x)$

c) $0=\exp(x)y'(x)+\sin(x)$

d) $(y(x))^2=y(x)-y'(x)$

e) $y'(x)=1+x(y(x))^2+x+(y(x))^2$

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).

Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

Sind Ihnen alle Begriffe klar?
Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Prof. Dr. Sebastian Ritterbusch . Am Ende können Sie die Auswertung abrufen, darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.

1) Klassifizieren Sie die folgenden linearen Differentialgleichungen für $y:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ erster Ordnung: (Hilfe)

(*) Ausgeschlossen sollen lineare DGLn und solche DGLn sein, die durch Separation gelöst werden können.

Beachten Sie auch den Eintrag zu "Linearen Differentialgleichungen" in der FAQ zur HM2.

2) Lösen Sie die angegebenen Anfangswertprobleme und geben Sie den Wert $y(1)$ der Lösungen $y$ für $x=1$ an: (Hilfe)

3) Gegeben sind verschiedene Lösungen linearer Differentialgleichungen erster Ordnung mit nicht verschwindenden partikulären Lösungen. Die vorliegenden Typen sind entweder allgemeine Lösungen homogener oder inhomogener Differentialgleichungen oder partikuläre Lösungen- ordnen Sie die Lösungen den Typen zu: (Hilfe)

In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Prof. Dr. Sebastian Ritterbusch Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.

	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$\pi$
a) $\displaystyle y(x)y'(x)=x\,,\ y(0)=\sqrt3$
b) $\displaystyle y'(x)=y(x)-x^2+2x\,,\ y(0)=\frac2e$
c) $\displaystyle y'(x)=-\frac{\pi\tan(\pi x)}3+\frac{\pi\tan(\pi x)}{2(y(x))^2}\,,\ y(0)=\sqrt[3]2$

	Allg. Lsg. einer hom. DGL	Allg. Lsg. einer inhom. DGL	Partikuläre Lsg.
a) $y(x)=C\sin(x)+x\,,\ C\in\mathbb{R}$
b) $y(x)=x^2+C\,,\ C\in\mathbb{R}$
c) $y(x)=2\cos(x)+x$
d) $y(x)=Cx^2+C\,,\ C\in\mathbb{R}$