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HM III - FAQ

FAQ zu HM3

Auf dieser Seite werden einige Fragen beantwortet, die immer wieder gestellt werden.

Frage: Was ist das Integral über die Nullfunktion?

Antwort: Unbestimmtes Integral: \int 0 dx = c (d.h. jede Konstante ist eine Stammfunktion).
Bestimmtes Integral: \int_a^b 0 dx = [c]_a^b=c-c=0 (d.h. das bestimmte Integral, also der Flächeninhalt unter der Kurve, ist immer 0)

Frage: Warum muss ich gerade über die Eins-Funktion integrieren, um den Flächen- bzw. Volumeninhalt eines Flächenstücks bzw. Körpers zu erhalten?

Antwort: Das ist nicht schwer einzusehen. Ist \rho(x) die Dichte im Punkt x, so ist bekanntlich die Masse des Körpers K gegeben durch

$m=\iiint\limits_K \rho(x) dx.$

Wenn nun \rho(x)=1 konstant ist, so ist die Massenmaßzahl gleich der Volumenmaßzahl. Stellen wir uns also den Körper mit Wasser gefüllt vor (Dichte ca. 1 g/cm^3) und bekommen heraus, dass er 542g wiegt, muss das Volumen eben 542cm^3 sein.

Frage: Ich habe ein Oberflächenintegral über eine Fläche, die offensichtlich einen von Null verschiedenen Inhalt hat. Wie kann es sein, dass da 0 herauskommt?

Antwort: Das ist kein Widerspruch. Ein Oberflächenintegral liefert dann gerade den Flächeninhalt (s.o), wenn man über die Funktion "konstant eins" integriert:

$|S|=\iint\limits_S 1 do$

Wenn nun statt 1 ein beliebiger Integrand gegeben ist, sagen wir f, so werden beim Integrieren lauter kleine Beiträge von f über S aufsummiert. Fasst man f als (z.B. Ladungs- oder Energie-) Dichte auf, so gibt das Oberflächenintegral die Gesamtladung bzw. Energie an. Beim Integrieren wird gewissermaßen eine Bilanz erstellt, und die kann 0 sein, wenn sich die positiven und negativen Beiträge herausheben.

Frage: Wann brauche ich denn nun in meinem Integral eine "Verzerrung" und wann nicht?

Antwort: Grundsätzlich tritt im Integral immer eine Verzerrung auf, wenn man die Transformationsformel benutzt oder eine Parametrisierung verwendet. Also braucht man dann grundsätzlich immer eine Verzerrung.

  • Bei Bereichsintegralen (also Volumenintegralen im Dreidimensionalen und bei Flächenintegralen im Zweidimensionalen) ist das die Jacobi-Determinante der Transformation.
  • Bei Oberflächenintegralen im Dreidimensionalen ist es \|X_u\times X_v\|, wobei X: (u,v)\mapsto X(u,v) die Parametrisierung des Flächenstücks ist. Handelt es sich um ein Flussintegral, d.h. der Integrand ist von der Form F\cdot n, und wir ermitteln den Normalenvektor n als Kreuzprodukt n=X_u\times X_v, so kürzt sich die "Verzerrung" gegen die Norm der Normalen weg. In diesem Fall brauchen wir die Verzerrung nicht auszurechnen, da der Normalenvektor diese Information bereits mitbringt. Anders sieht es aus, wenn wir uns n auf andere Weise beschaffen (z.B. wenn offensichtlich ist, dass er genau nach unten oder oben zeigt). In diesem Fall steckt keine Information über die Verzerrung im Normalenvektor, wir müssen sie also extra berechnen.
  • Bei Kurvenintegralen im Zwei- und Dreidimensionalen ist es \|\dot{x}(t)\|, wobei x: t\mapsto x(t) die Parametrisierung des Kurvenstücks ist. Auch hier gilt wieder: bei speziellen Integralen, nämlich Arbeitsintegralen (d.h. über f\cdot\tau, \tau Tangenteneinheitsvektor) und Flussintegralen (d.h. über f\cdot\nu, \nu Normaleneinheitsvektor) kürzt sich die Verzerrung gegen die Norm weg, wenn wir uns den Tangentenvektor als \dot{x}(t) beschaffen.

Frage: Wie war das nochmal mit der Dreifingerregel beim Satz von Stokes?

Antwort: Da der Satz von Stokes für Flächenstücke mit Rand gilt, bei denen wir nicht von "innen" und "außen" sprechen können, ist die Richtung des Normalenvektors nicht von vornherein festgelegt (anders beim Satz von Gauß, wo er immer nach außen zeigen muss). Deshalb müssen wir dafür sorgen, dass seine Richtung zur Orientierung des Randes "passt", und das prüft man mit der Dreifingerregel folgendermaßen nach (vielen Dank an meinen Kollegen Sebastian Ritterbusch für die lehrreichen Bilder):

Hier passen die Richtungen nichtHier passen die Richtungen
Hier passt die Richtung der Flächennormalen nicht zur Orientierung des RandesHier passen Richtung der Flächennormalen und Orientierung des Randes zueinander!


Man sucht sich einen beliebigen Punkt auf dem Rand aus und berechnet die Oberflächennormale sowie den Tangentenvektor an die Randkurve in diesem Punkt. Dann richtet man den Daumen der rechten Hand so aus, dass er in Richtung des Normalenvektors zeigt und den Zeigefinger so, dass er in die Richtung der Tangente weist. Zeigt dann der Mittelfinger dorthin, wo sich das Flächenstück befindet, so passen die Richtungen, anderenfalls muss entweder die Richtung des Normalenvektors oder die Orientierung der Randkurve umgekehrt werden.