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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Integralgleichungen

Integralgleichungen

Fragebogen

Dies ist ein elektronischer Fragebogen zum Selbsttest mit Aufgaben aus verschiedenen Themen der Vorlesung Lineare Integralgleichungen.

Die Fragen decken aber weder alle Themen der Vorlesung ab, noch ist ein korrekt gesetzter Haken eine Garantie für Verständnis- wirklich wichtig ist, wie der Bogen bearbeitet wird:

Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

Sind Ihnen alle Begriffe klar?
Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie beweisen?

Sollten Sie bei einem dieser Punkte unsicher sein, so schauen Sie nochmal in das Skript oder die Übungsblätter zur Vorlesung Integralgleichungen oder fragen Sie Dr. Janina Stompe oder PD Dr. Frank Hettlich zum Thema. Sehr freuen wir uns, wenn Sie Vorschläge oder Meinungen zum Fragebogen haben, und besonders, wenn Sie einen Fehler oder Ungenauigkeiten finden.

Fragebogen zu linearen Integralgleichungen

1) Bestimmen Sie, falls möglich, die erste Ableitung der Funktion

<\html> $f(s)=\int\limits_{1/s}^{s^2} \frac1\tau\,\sin(s\tau)\,d\tau\,,\quad s>0\,,$ und ordnen Sie die folgenden Aussagen nach richtig und falsch ein: || ||'''richtig'''||'''falsch'''|| ||a) $f(1)=0$ ||||||

Hinweis: Benutzen Sie die Leibniz-Formel.

2) Gesucht seien Lösungen $u\in C([0,1])$ der Integralgleichung

$u(t)+\int\limits_0^t (2t-\tau)u(\tau)\,d\tau=1+\frac43 t^{5/2}\,.$

Die Integralgleichung ist ...

Eine Lösung $u$ ...

3) Die Integralgleichung

$\int\limits_{-\infty}^\infty k_1(s,t)\,u(s)\,ds=y(t)\,,\quad k_1(s,t)=\left\{ \begin{array}{cc}\exp(t-s)\,,&s\geq t\ \exp(s-t)\,,&s<t\end{array} \right.$

ist eine Faltungsintegralgleichung $k_2 * u=y$ .

Welche Aussagen sind richtig und welche sind falsch?

Stand: 28.05.2018 09:13 Aufgaben 1-3: r

b) $f$ ist nicht differenzierbar
c) $f'(\sqrt[3]{\pi})=1$
d) $f'(s)=\int_{1/s}^{s^2}\cos(st)\,dt$
e) $f'(3)=\sin(27)$

	richtig	falsch
a) linear und inhomogen.
b) eine Volterra-Integralgleichung.
c) eine Fredholmsche Integralgleichung.
d) von erster Art.
e) mit schwach singulärem Kern.

	richtig	falsch
f) kann ohne zusätzliche Anfangswerte nicht eindeutig sein.
g) ist in $C^2(0,1)$ und erfüllt $u''(t)+tu'(t)+3u(t)=5\sqrt{t}$ .
h) ist bei Existenz eindeutig und erfüllt $u(0)=1$ und $u'(0)=0$ .
i) existiert und kann mit iterierten Kernen, bzw. einer Neumannschen Reihe, bestimmt werden.
j) ist in $C^3(0,1)$ .

	richtig	falsch
a) $k_2(s,t)=\exp(-\|s-t\|)$
b) $k_2(t)=\exp(-\|t\|)$
c) Ist $u$ stetig und beschränkt, so auch $y$ .
d) Ist $u\in L^1(\mathbb{R})$ so ist $y$ stetig.
e) Auch wenn $y$ unbeschränkt ist, kann $u\in L^1(\mathbb{R})$ sein.