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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Integralgleichungen

Integralgleichungen

Rieszsche Zahl

1) Geben Sie die Riezsche Zahl $r$ für die folgenden Abbildungsmatrizen an.

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ ,	$B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ ,	$C=\begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ,
$D=\begin{pmatrix} 2 & 2 \ 2 & 2 \end{pmatrix}$ ,	$E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ ,	$F=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ ,
$G=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ ,	$H=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ ,	$R=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}\,,\alpha\in\mathbb{R}$ .

Hinweis: Betrachten Sie die Folge $(M^n)$ für eine Abbildungsmatrix $M$ und die zugehörigen Nullräume.

2) Geben Sie die Riezsche Zahl $r_A$ der Abbildungsmatrix A an.

$A=\begin{pmatrix} 0 & \, & \cdots & \, & 0 \ 1 & \ddots & \, & \, & \, \ 0 & \ddots & \ddots & \, & \vdots \ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \, \ 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \in\mathbb{R}^{n,n}$

Lösung:	$r_A=1$	$r_A=n-1$	$r_A=n$

Hinweis: $A$ ist ein Jordan-Block zum Eigenwert $\lambda=0$ .

3) Bestimmen Sie die Rieszsche Zahl $r$ des Operators $L$ aus der Gleichung

$\underbrace{(I-A)}_{=:L} x=y\in\mathbb{C}^4\,,\quad A=\left(\begin{array}{rrrr}2&-1&1&1\1&1&1&1\3&4&2&-1\-4&-3&-2&1\end{array}\right)\,.$

Die Rieszsche Zahl $r$ von $L$ ist .

Hinweis: Betrachten Sie die Jordansche Normalform von $L$ .

4) Betrachten Sie die Integralgleichung

$\underbrace{(I-A)}_{=:L} x=y$

für ein $y\in C([0,1])$ und $k(s,t)$ ein schwach singulärer Kern des Fredholmoperators $A$ . Weiterhin sei die homogene Gleichung $(I-A)x=0$ für $x\in C([0,1])$ nur trivial lösbar.

Welche Aussagen sind richtig und welche sind falsch?

Stand: 26.04.2016 13:21 Aufgaben 1-2: s, 3-4: r

	$r_A$	$r_B$	$r_C$	$r_D$	$r_E$	$r_F$	$r_G$	$r_H$	$r_R$
$0$
$1$
$2$
$3$

	richtig	falsch
a) $A$ ist beschränkt
b) $A$ ist kompakt
c) $L$ hat eine Rieszsche Zahl $r\leq1$
d) $L$ hat eine Rieszsche Zahl $r\geq1$
e) Es existiert eine eindeutige Lösung $x\in C([0,1])$