KIT - Fakultät für Mathematik - Integralgleichungsmethode

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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Integralgleichungen

Integralgleichungen

Integralgleichungsmethode

1) Sei $D\subseteq\mathbb{R}^2$ ein Gebiet mit Rand $\partial D\in C^2$ . Weiterhin $\Phi$ sei die Fundamentallösung der Laplace-Gleichung und $\varphi\in C(\partial D)$ eine stetige Funktion auf dem Rand und $\varphi\not=0$ .

Beantworten Sie die Fragen:

2) Sei $D\subseteq\mathbb{R}^2$ ein Gebiet mit Rand $\partial D\in C^2$ . Welche der Aussagen sind richtig, welche sind falsch?

Hinweis: Der Randintegraloperator $K$ ist in Definition und Satz 4.9 definiert:

$K\varphi(x)=\int\limits_{\partial\Omega} \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial n(y)}\,\varphi(y)\,ds_y\,,\quad x\in\partial\Omega$

Es ist das "auf dem Rand ausgewertete Doppelschichtpotential".

3) Welche Aussagen treffen auf das Einfachschicht- und/oder das Doppelschichtpotenzial (ESP, DSP) einer Dichte $\varphi$ auf dem Rand eines Gebiets $D$ oder auf keine der beiden zu?

Stand: 26.04.2016 13:25 Aufgabe 1: r, 2,3: s

	ja	nein
a) Ist $\mathrm{SL}\,\varphi$ harmonisch in $\mathbb{R}^2$ ?
b) Sei $u\in C^2(\mathbb{R}^2 )$ harmonisch. Gilt dann $u(x)=\mathrm{SL}\,\frac{\partial u}{\partial n}\|_{\partial D}(x)-\mathrm{DL}\,u\|_{\partial D}(x)$ für alle $x\in\mathbb{R}^2$ ?
c) Ist der Operator $\displaystyle A:\left\{\begin{array}{ccc}C(\partial D)&\rightarrow&C(D)\varphi&\mapsto&\mathrm{DL}\,\varphi\end{array}\right.\$ beschränkt?
d) Ist der Operator $\displaystyle B:\left\{\begin{array}{ccc}C(\partial D)&\rightarrow&C(\partial D)\varphi&\mapsto&\int\limits_{\partial D} \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial n(y)}\,\varphi(y)\,ds_y\end{array}\right.\$ beschränkt?
e) Ist der Operator $B$ kompakt?

	richtig	falsch
a) Das Dirichlet-Problem $\Delta u=0$ in $D$ , $u=f$ auf $\partial D$ ist für alle $f\in C(\partial D)$ eindeutig lösbar.
b) Das Neumann-Problem $\Delta u=0$ in $D$ , $\frac{\partial u}{\partial n}=f$ auf $\partial D$ ist für alle $f\in C(\partial D)$ eindeutig lösbar.
c) $I-2K\,:\ C(\partial D)\rightarrow C(\partial D)$ ist ein Isomorphismus.
d) $\dim\,N(I+2K)>0$

	ESP	DSP	keines
a) Das Potenzial ist abgesehen vom Rand stetig.
b) Das Potenzial kann auf dem gesamten Raum stetig ergänzt werden.
c) Das Potenzial kann auf dem gesamten Raum stetig differenzierbar ergänzt werden.
d) Das Potenzial kann senkrecht zum Rand folgendes Verhalten zeigen: schichtpotential2.gif\|center\|Graph einer Funktion mit Sprung
e) Das Potenzial kann senkrecht zum Rand folgendes Verhalten zeigen: schichtpotential1.gif\|center\|Graph einer Funktion mit Spitze
f) Die Normalableitung des Potenzials bezogen zum Rand $\partial D$ stimmt auf linker und rechter Seite überein.
g) Die Normalableitung des Potenzials springt am Rand $\partial D$ genau um den Wert der Dichte $\varphi$ .
h) Das Potenzial ist auf dem ganzen Raum bis auf den Rand harmonisch.