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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Integralgleichungen

Integralgleichungen

Integralgleichungen (Sommersemester 2018)

Dozent*in: Prof. i. R. Dr. Andreas Kirsch
Veranstaltungen: Vorlesung (0156900), Übung (0156910)
Semesterwochenstunden: 4+4
Hörerkreis: Mathematik, alle Master-Studiengänge

Termine
Vorlesung:	Montag 9:45-11:15	SR 3.068
	Freitag 14:00-15:30	SR 2.066
Übung:	Mittwoch 8:00-9:30	SR 2.067

Lehrende
Übungsleiterin	Dr. Elena Cramer
	Sprechstunde: Nach Absprache
	Zimmer 1.037 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: elena.cramer@kit.edu

Eine Gleichung der Form

$u(t) - \int_a^b k(t,s) \, u(s) \, ds = f(t), \qquad t \in (a,b),$

bei der die Unbekannte Funktion $u$ zu bestimmen ist, bezeichnet man als eine (Fredholm)-Integralgleichung zweiter Art. Die wesentliche Fragestellung der Vorlesung ist, unter welchen Umständen eine solche Gleichung eindeutig lösbar ist. Eine Reihe von Aspekten hat hierauf Einfluss, hier eine Auswahl:

Die Glattheit der Kernfunktion k des Integraloperators ist wesentlich für seine Abbildungseigenschaften. Wir werden im wesentlichen stetige oder schwach singuläre Kerne betrachten, die auf kompakte Integraloperatoren führen.
Der Raum, in dem die Lösung gesucht wird, kann unterschiedlich gewählt werden. Typischerweise betrachtet man solche Integralgleichungen in den Räumen $C[a,b]$ oder in $L^2(a,b)$ .
Die Intervallgrenzen a, b haben in sofern einen wesentlichen Einfluss, dass kompakte Intervalle zu einem ganz anderen Verhalten der Integraloperatoren führen als unbeschränkte Intervalle.

In einem großen Teil der Vorlesung wollen wir uns mit der Theorie für solche Integralgleichungen auseinandersetzen, der Riesz-Fredholm Theorie. Die Beweise der drei Rieszschen Sätze und der Fredholmschen Alternative bilden hierbei das Ziel. Im weiteren Verlauf beschäftigen wir uns mit Erweiterungen und Anwendungen dieser Begriffe, etwa mit der Potentialtheorie.

Bei Faltungsintegralgleichungen ist der Integraloperator im Allgemeinen nicht kompakt, sodass andere Methoden erforderlich sind. In der Vorlesung werden wir auch solche Gleichungen diskutieren. Ziel ist der Satz von Wiener, der zusammen mit den Abbildungseigenschaften der Fouriertransformation eine allgemeine Lösungstheorie liefert.

Zu dieser Vorlesung wird es ein Skriptum geben, das allerdings erst mit zeitlicher Verzögerung zur Verfügung gestellt wird.

Prüfung

Die Prüfung besteht aus einer zweistündigen Klausur.

Literaturhinweise

werden in der Vorlesung bekanntgegeben.