Fragebogen0_IGL
Dies ist ein elektronischer Fragebogen zum Selbsttest mit Aufgaben aus verschiedenen Themen der Vorlesung Lineare Integralgleichungen.
Die Fragen decken aber weder alle Themen der Vorlesung ab, noch ist ein korrekt gesetzter Haken eine Garantie für Verständnis- wirklich wichtig ist, wie der Bogen bearbeitet wird:
Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:
- Sind Ihnen alle Begriffe klar?
- Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
- Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie beweisen?
Sollten Sie bei einem dieser Punkte unsicher sein, so schauen Sie nochmal in das Skript oder die Übungsblätter zur Vorlesung Integralgleichungen oder fragen Sie zum Thema. Sehr freuen wir uns, wenn Sie Vorschläge oder Meinungen zum Fragebogen haben, und besonders, wenn Sie einen Fehler oder Ungenauigkeiten finden.
Fragebogen zu linearen Integralgleichungen
1. Einführung - Beispiele und Klassifizierung
1) Sei und
. Betrachten Sie die Lösung
des Anfangswertproblems
und markieren Sie die passenden und
so, dass
eine Lösung der Integralgleichung
ist!
2) Bestimmen Sie falls möglich, die erste Ableitung der Funktion
und ordnen Sie die folgenden Aussagen nach richtig und falsch ein:
richtig | falsch | |
a) | ||
b) | ||
c) | ||
d) | ||
e) |
3) Betrachten Sie die Integralgleichung
.
Die Lösung hat folgende Gestalt...
...mit Konstante...
2. Volterrasche Integralgleichungen
4) Betrachten Sie die folgenden Operatoren! Ist der jeweilige Operator linear und beschränkt?
Ja | Nein | |
a) | ||
b) | ||
c) | ||
d) | ||
e) | ||
f) | ||
g) | ||
h) |
Hinweis: ist definiert als
mit Norm
.
Geben Sie die Norm des entsprechenden Operators an. Tippen Sie nan ein, falls der Operator nicht linear oder unbeschränkt ist.
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13) Sei . Stimmt es, dass Sie aus dem Störungslemma folgern können, dass
eine eindeutige Lösung besitzt? Wenn ...
richtig | falsch | |
a) | ||
b) | ||
c) |
14) Sei der Raum der reellen Polynome auf
. Dann gilt, dass
die Vervollständigung von
bezüglich
ist (kurz
).
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch?
richtig | falsch | |
a) | ||
b) | ||
c) |
Hinweis: ist der Raum der linearen beschränkten Operatoren von
nach
und
die dazugehörige Operatornorm.
15) Gesucht sind Lösungen der Integralgleichung
Die Integralgleichung ist ...
richtig | falsch | |
a) linear und inhomogen. | ||
b) eine Volterra-Integralgleichung. | ||
c) von erster Art. | ||
d) mit schwach singulärem Kern. |
Eine Lösung ...
richtig | falsch | |
e) kann ohne zusätzliche Anfangswerte nicht eindeutig sein. | ||
f) ist in | ||
g) ist bei Existenz eindeutig und erfüllt | ||
h) existiert und kann mit iterierten Kernen, bzw. einer Neumannschen Reihe, bestimmt werden. | ||
i) ist in |
3. Fredholmsche Integralgleichungen
16) Sind die folgenden Teilmengen von kompakt?
kompakt | nicht kompakt | |
a) | ||
b) | ||
c) | ||
d) | ||
e) |
17) Klassifizieren Sie die folgenden linearen beschränkten Operatoren:
kompakt | nicht kompakt | |
a) | ||
b) | ||
c) |
18) Sei X ein Banachraum, , zusätzlich seien
kompakt für alle
und
kollektiv kompakt.
Hinweis: Man nennt kollektiv kompakt, wenn für jedes beschränkte
die Menge
relativ kompakt ist.
Entscheiden Sie ob die jeweilige Aussage richtig oder falsch ist!
richtig | falsch | |
a) | ||
b) | ||
c) | ||
d) | ||
e) Eine Teilmenge der kompakten Operatoren |
19) Klassifizieren Sie die Operatoren auf :
beschränkt | unbeschränkt | kompakt | nicht kompakt | |
Operator | ||||
Operator | ||||
Operator | ||||
Operator | ||||
Operator |
20) Bestimmen Sie die Rieszsche Zahl des Operators
aus der Gleichung
Die Rieszsche Zahl von
ist .
Bestimmen Sie die Rieszsche Zahl des Operators
, wenn ...
21) , dann ist
.
22) , dann ist
.
23) mit
, dann ist
.
24) mit
, dann ist
.
25) Sei ein normierter Vektorraum,
und
ein kompakter Operator so, dass
die Rieszsche Zahl
hat. Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch?
richtig | falsch | |
a) | ||
b) | ||
c) | ||
d) | ||
e) | ||
f) |
Hinweis: ist der Quotientenraum von
nach
mit
.
26) Sei ein Hilbertraum,
ein normierter Vektorraum,
und
. Klassifizieren Sie die Abbildung
.
bilinear | nicht degeneriert | |
a) Wenn | ||
b) Wenn | ||
c) Ist | ||
d) Wenn | ||
e) Wenn | ||
f) Wenn | ||
g) Wenn | ||
h) |
27) Folgenden Aussagen gelten, in einem Hilbertraum. Sind die Aussagen auch noch richtig, wenn nur ein Dualsystem ist?
Sei und der adjungierte Operator
existiere.
richtig | falsch | |
a) | ||
b) | ||
c) Sei |
28) Wir definieren , wobei
und
, wobei
. Dann sind
für
Dualsysteme. Wenn
und
die Adjungierten von
bezüglich
sind, welche Gleichungen sind dann richtig?
richtig | |
a) | |
b) | |
c) | |
d) | |
e) | |
f) |
29) Sei . Markieren Sie die Mengen die mit dem Bild von
übereinstimmen!
a) | |
b) | |
c) |
30) Sei ein Integraloperator mit stetigem oder schwach singulärem Kern und
. Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch?
richtig | falsch | |
a) | ||
b) | ||
c) | ||
d) | ||
e) Zu jedem |
31) Sei ein Banachraum,
ein normierter Vektorraum der dicht in
liegt,
und
die stetige Fortsetzung von
auf
.
richtig | falsch | |
a) Gilt | ||
b) Gilt | ||
c) Wenn | ||
d) Wenn |
32) Sei -periodisch und
. Betrachte den Operator
, dann gilt für das Spektrum von
:
richtig | falsch | |
a) | ||
b) | ||
c) | ||
d) | ||
e) |
4. Die Integralgleichungsmethode
33) Sei ein Gebiet mit Rand
. Weiterhin
sei die Fundamentallösung der Laplace-Gleichung und
eine stetige Funktion auf dem Rand und
.
Beantworten Sie die Fragen:
ja | nein | |
a) Ist | ||
b) Sei | ||
c) Ist der Operator | ||
d) Ist der Operator | ||
e) Ist der Operator |
33) Sei ein Gebiet mit Rand
. Welche der Aussagen sind richtig, welche sind falsch?
richtig | falsch | |
a) Das Dirichlet-Problem | ||
b) Das Neumann-Problem | ||
c) | ||
d) |
Hinweis: Der Randintegraloperator ist in Definition und Satz 4.9 definiert:
Es ist das "auf dem Rand ausgewertete Doppelschichtpotential".
34) Welche Aussagen treffen auf das Einfachschicht- und/oder das Doppelschichtpotenzial einer Dichte auf dem Rand eines Gebiets
oder auf keine der beiden zu?
Einfachschichtpotenzial | Doppelschichtpotenzial | keines | |
a) Das Potenzial ist abgesehen vom Rand stetig. | |||
b) Das Potenzial kann auf dem gesamten Raum stetig ergänzt werden. | |||
c) Das Potenzial kann auf dem gesamten Raum stetig differenzierbar ergänzt werden. | |||
d) Das Potenzial kann senkrecht zum Rand folgendes Verhalten zeigen: schichtpotential2.gif|center|Graph einer Funktion mit Sprung | |||
e) Das Potenzial kann senkrecht zum Rand folgendes Verhalten zeigen: schichtpotential1.gif|center|Graph einer Funktion mit Spitze | |||
f) Die Normalableitung des Potenzials bezogen zum Rand | |||
g) Die Normalableitung des Potenzials springt am Rand | |||
h) Das Potenzial ist auf dem ganzen Raum bis auf den Rand harmonisch. |
5. Faltungsintegralgleichungen
35) Sei die Fouriertransformation mit
für
und
die inverse Fouriertransformation. Welche Aussagen sind richtig, welche falsch?
richtig | falsch | |
a) | ||
b) | ||
c) | ||
d) |
36) Die Integralgleichung
ist eine Faltungsintegralgleichung .
Welche Aussagen sind richtig und welche sind falsch?
richtig | falsch | |
a) | ||
b) | ||
c) Ist | ||
d) Ist | ||
e) Auch wenn |
37) Entscheiden Sie welche der folgenden Aussagen richtig beziehungsweise falsch sind!
richtig | falsch | |
a) | ||
b) Der Raum der kompakten Operatoren auf | ||
c) Die Menge der regulären Elemente in | ||
d) |
Stand: 11.06.2024 09:53 Aufgaben 1-6,9: r, 7,8: s
Für Mitarbeiter gibt es auf der Seite Erstellung eines Fragebogens eine Anleitung, wie man solche Fragebögen für eigene Veranstaltungen umsetzt, und weitere Beispiele hat Dr. Klaus Spitzmüller auf seinen Fragebogen-Seiten zum Jahr der Mathematik erstellt. Übrigens: Diese Fragebögen können oft auch sehr ansehnlich ausgedruckt werden, zum Selbsttest ohne Computer.