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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Integralgleichungen

Integralgleichungen

Fragebogen0_IGL

Dies ist ein elektronischer Fragebogen zum Selbsttest mit Aufgaben aus verschiedenen Themen der Vorlesung Lineare Integralgleichungen.

Die Fragen decken aber weder alle Themen der Vorlesung ab, noch ist ein korrekt gesetzter Haken eine Garantie für Verständnis- wirklich wichtig ist, wie der Bogen bearbeitet wird:

Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

Sind Ihnen alle Begriffe klar?
Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie beweisen?

Sollten Sie bei einem dieser Punkte unsicher sein, so schauen Sie nochmal in das Skript oder die Übungsblätter zur Vorlesung Integralgleichungen oder fragen Sie zum Thema. Sehr freuen wir uns, wenn Sie Vorschläge oder Meinungen zum Fragebogen haben, und besonders, wenn Sie einen Fehler oder Ungenauigkeiten finden.

Fragebogen zu linearen Integralgleichungen

1. Einführung - Beispiele und Klassifizierung

1) Sei $f \in C([0,1])$ und $\gamma, \omega \in \mathbb{R}$ . Betrachten Sie die Lösung $x \in C^2([0,1])$ des Anfangswertproblems

$x''(t) + 2 \gamma x'(t) + \omega^2 x(t) = f(t), \quad x(0)=x'(0)=0, \quad t \in [0,1]$

und markieren Sie die passenden $k:[0,1]^2 \rightarrow [0,1]$ und $g:[0,1] \rightarrow [0,1]$ so, dass $x$ eine Lösung der Integralgleichung

$x(t) + \int\limits_{0}^{1} k(t,s) \, x(s) \,ds = g(t), \quad t \in [0,1]$

ist!

$\displaystyle k(t,s)=\left\{\begin{array}{cc} \omega^2 (t-s) & s \leq t \ 0 & s>t \end{array}\right.\$
$\displaystyle k(t,s)=\left\{\begin{array}{cc} 2\gamma + \omega^2 (t-s) & s \leq t \ 0 & s>t \end{array}\right.\$
$\displaystyle k(t,s)=\left\{\begin{array}{cc} \gamma\omega^2 (t-s)s & s \leq t \ 0 & s>t \end{array}\right.\$
$k(t,s)=\omega^2(t-s)$
$g(t)=f(t)$
$g(t)= \int^1_0 k(t,s) \, x(s) \,ds$
$g(t)= \int^t_0 (t-s) \, x(s) \,ds$

2) Bestimmen Sie falls möglich, die erste Ableitung der Funktion

$f(t)=\int\limits_{1/t}^{t^2} \frac{1}{ s}\,\sin(ts)\,ds\, ,\quad t>0\,,$

und ordnen Sie die folgenden Aussagen nach richtig und falsch ein:

3) Betrachten Sie die Integralgleichung

$x(t) - \int\limits^1_0 e^{t+s} \, x(s) \, ds = t, \quad t \in [0,1]$ .

Die Lösung hat folgende Gestalt...

$ce^{t+2} +t$
$c(e^t+t)$
$ce^t+e^t t$

...mit Konstante...

$c= \frac{1}{2} (e^{-2}+1)^{-1}$
$c= (1+ \frac{e^2}{2} (1-e^2))^{-1}$
$c= \frac{2}{e^2-1}$

2. Volterrasche Integralgleichungen

4) Betrachten Sie die folgenden Operatoren! Ist der jeweilige Operator linear und beschränkt?

Hinweis: $l^2$ ist definiert als $\{(x_n)_n \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}: \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 < \infty \}$ mit Norm $||(x_n)_n|| = (\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2)^{1/2}$ .

Geben Sie die Norm des entsprechenden Operators an. Tippen Sie nan ein, falls der Operator nicht linear oder unbeschränkt ist.

5) $||A|| =$

6) $||B|| =$

7) $||C|| =$

8) $||D|| =$

9) $||E|| =$

10) $||F|| =$

11) $||G|| =$

12) $||H|| =$

13) Sei $x,y \in X, A:X \rightarrow X$ . Stimmt es, dass Sie aus dem Störungslemma folgern können, dass $x-Ax=y$ eine eindeutige Lösung besitzt? Wenn ...

14) Sei $\mathcal{P}([0,1])$ der Raum der reellen Polynome auf $[0,1]$ . Dann gilt, dass $C([0,1])$ die Vervollständigung von $\mathcal{P}([0,1])$ bezüglich $||\cdot||_\infty$ ist (kurz $\overline{ \mathcal{P}([0,1])}^{||\cdot||_{\infty}} = C([0,1])$ ).
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch?

Hinweis: $\mathcal{L}(X,Y)$ ist der Raum der linearen beschränkten Operatoren von $X$ nach $Y$ und $||\cdot||_{\mathcal{L}(X,Y)}$ die dazugehörige Operatornorm.

15) Gesucht sind Lösungen $u\in C([0,1])$ der Integralgleichung

$u(t)+\int\limits_0^t (2t-s)u(s)\,ds=1+\frac43 t^{5/2}\,.$

Die Integralgleichung ist ...

Eine Lösung $u$ ...

3. Fredholmsche Integralgleichungen

16) Sind die folgenden Teilmengen von $C([0,1])$ kompakt?

17) Klassifizieren Sie die folgenden linearen beschränkten Operatoren:

18) Sei X ein Banachraum, $A,T,T_n \in \mathcal{L}(X)$ , zusätzlich seien $T_n$ kompakt für alle $n \in \mathbb{N}$ und $\{ A_n \in \mathcal{L}(X): n \in \mathbb{N} \}$ kollektiv kompakt.
Hinweis: Man nennt $\mathcal{A} \subset \mathcal{L}(X)$ kollektiv kompakt, wenn für jedes beschränkte $U \subset X$ die Menge $\bigcup\limits_{A \in \mathcal{A}} A(U) = \{ Ax : A\in \mathcal{A}, x \in U \}$ relativ kompakt ist.
Entscheiden Sie ob die jeweilige Aussage richtig oder falsch ist!

19) Klassifizieren Sie die Operatoren auf $(BC(\mathbb{R}),||\cdot||_\infty)$ :

$(Ax)(t)=e^{-t^2}x(t)\,,\quad (Bx)(t)=\int\limits_0^1 x(s)\,ds\,,$

$(Cx)(t)=\int\limits_{-\infty}^\infty (Ax)(s)\,ds.$

20) Bestimmen Sie die Rieszsche Zahl $r$ des Operators $L$ aus der Gleichung

$\underbrace{(I-A)}_{=:L} x=y\in\mathbb{C}^4\,,\quad A=\left(\begin{array}{rrrr}2&-1&1&1\1&1&1&1\3&4&2&-1\-4&-3&-2&1\end{array}\right)\,.$

Die Rieszsche Zahl $r$ von $L$ ist .

Bestimmen Sie die Rieszsche Zahl $r$ des Operators $L=I-A$ , wenn ...
21) $A:l^2 \rightarrow l^2, (x_n)_{n} \mapsto ( x_2/2, x_3/3, x_4/4, \dots )$ , dann ist $r=$ .

22) $A:l^2 \rightarrow l^2, (x_n)_{n} \mapsto ( \frac{1}{n} x_n )_{n}$ , dann ist $r=$ .

23) $A:C([0,1]) \rightarrow C([0,1])$ mit $Ax(t) = \int^1_0 e^{t+s} \, x(s) \, ds$ , dann ist $r=$ .

24) $A:C([0,1]) \rightarrow C([0,1])$ mit $Ax(t) = \frac{2}{e^2-1} \int^1_0 e^{t+s} \, x(s) \, ds$ , dann ist $r=$ .

25) Sei $X$ ein normierter Vektorraum, $x,y \in X$ und $A \in \mathcal{L}(X,X)$ ein kompakter Operator so, dass $I-A$ die Rieszsche Zahl $r=1$ hat. Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch?

Hinweis: $X/ \mathcal{N}(I-A) = \{ x+u=[x]: u \in \mathcal{N}(I-A), x \in X \}$ ist der Quotientenraum von $X$ nach $\mathcal{N}(I-A)$ mit $||[x]||_{X/ \mathcal{N}(I-A)}= \inf_{u \in \mathcal{N}(I-A)} ||x+u||_X$ .

26) Sei $(X,( \cdot , \cdot )_X)$ ein Hilbertraum, $Y$ ein normierter Vektorraum, $A: Y \rightarrow X$ und $\langle \cdot , \cdot \rangle :Y \times X \rightarrow \mathbb{R}, \langle y , x \rangle \mapsto (Ay, x)_X$ . Klassifizieren Sie die Abbildung $\langle \cdot , \cdot \rangle$ .

27) Folgenden Aussagen gelten, in einem Hilbertraum. Sind die Aussagen auch noch richtig, wenn $(X,X,(\cdot, \cdot)_X)$ nur ein Dualsystem ist?
Sei $T \in \mathcal{L}(X)$ und der adjungierte Operator $T^*$ existiere.

28) Wir definieren $( x , y)_1 = \int^1_0 x(s) y(s) q(s) \, ds$ , wobei $q \in C([0,1]), q(t)>0, \forall t \in [0,1]$ und $( x , y)_2 = \int^1_0 x(p(s)) y(s) \, ds$ , wobei $p \in C^1([0,1]), p(t) \neq 0, \forall t \in [0,1]$ . Dann sind $(C([0,1]),C([0,1]),( \cdot , \cdot)_j)$ für $j \in \{ 1,2 \}$ Dualsysteme. Wenn $Ax(t)= \int^t_0 k(t,s) \, x(s) \, ds$ und $A^*_j$ die Adjungierten von $A$ bezüglich $( \cdot , \cdot )_j$ sind, welche Gleichungen sind dann richtig?

	richtig
a) $A^*_1x(t)= \int\limits^1_t k(s,t) \, x(s) \, ds$
b) $A^*_1x(t)= \int\limits^1_t k(s,t) (q(s))^{-1} \, x(s) \, ds$
c) $A^*_1x(t)= \int\limits^1_t k(t,s) q(s) (q(t))^{-1} \, x(s) \, ds$
d) $A^*_2x(t)= \int\limits^{p^{-1}(1)}_t k(p(s),p(t)) p'(t) \, x(s) \, ds$
e) $A^*_2x(t)= \int\limits^{p^{-1}(1)}_{p^{-1}(t)} k(t,p^{-1}(t)) (p^{-1})'(t) \, x(s) \, ds$
f) $A^*_2x(t)= \int\limits^1_t k(s,p(t)) (p'(s))^{-1}\, x(p^{-1}(s)) \, ds$

29) Sei $A:l^2 \rightarrow l^2, (x_n)_n \mapsto ( \frac{1}{n} x_n)_n$ . Markieren Sie die Mengen die mit dem Bild von $I-A$ übereinstimmen!


a) $(I-A)(l^2)= \{ x \in l^2 : (n x_n)_n \in l^2, x_1=0\}$
b) $(I-A)(l^2)= \{ x \in l^2 : x_1=0\}$
c) $(I-A)(l^2)= \{ x \in l^2 : (n x_n)_n \in l^2, x_1=-1\}$

30) Sei $A:C([0,1]) \rightarrow C([0,1])$ ein Integraloperator mit stetigem oder schwach singulärem Kern und $Ax(t) = \int_0^t k(t,s) x(s) \, ds$ . Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch?

31) Sei $X$ ein Banachraum, $Y \subset X$ ein normierter Vektorraum der dicht in $X$ liegt, $A \in \mathcal{L}(Y)$ und $\bar{A} \in \mathcal{L}(X)$ die stetige Fortsetzung von $A$ auf $X$ .

32) Sei $h:\mathbb(R) \rightarrow \mathbb{C} 2\pi$ -periodisch und $h\mid_{(0,2\pi)} \in L^2(0,2\pi)$ . Betrachte den Operator $T_h:L^2(0,2\pi) \rightarrow L^2(0,2\pi), T_h x(t) = \int_0^{2\pi} x(s) \, h(t-s) \, ds$ , dann gilt für das Spektrum von $T_h$ :

4. Die Integralgleichungsmethode

33) Sei $D\subseteq\mathbb{R}^2$ ein Gebiet mit Rand $\partial D\in C^2$ . Weiterhin $\Phi$ sei die Fundamentallösung der Laplace-Gleichung und $\varphi\in C(\partial D)$ eine stetige Funktion auf dem Rand und $\varphi\not=0$ .

Beantworten Sie die Fragen:

33) Sei $D\subseteq\mathbb{R}^2$ ein Gebiet mit Rand $\partial D\in C^2$ . Welche der Aussagen sind richtig, welche sind falsch?

Hinweis: Der Randintegraloperator $K$ ist in Definition und Satz 4.9 definiert:

$K\varphi(x)=\int\limits_{\partial\Omega} \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial n(y)}\,\varphi(y)\,ds_y\,,\quad x\in\partial\Omega$

Es ist das "auf dem Rand ausgewertete Doppelschichtpotential".

34) Welche Aussagen treffen auf das Einfachschicht- und/oder das Doppelschichtpotenzial einer Dichte $\varphi$ auf dem Rand eines Gebiets $D$ oder auf keine der beiden zu?

5. Faltungsintegralgleichungen

35) Sei $\mathcal{F}$ die Fouriertransformation mit $\mathcal{F}x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(s) \, e^{-its} \, ds$ für $x \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ und $F^*$ die inverse Fouriertransformation. Welche Aussagen sind richtig, welche falsch?

36) Die Integralgleichung
$\int\limits_{-\infty}^{\infty} k_1(t,s)\,u(s)\,ds=y(t)\, ,\quad k_1(t,s)=\left\{ \begin{array}{cc}\exp(s-t)\, ,&t\geq s\ \exp(t-s)\, ,&t<s\end{array} \right.$

ist eine Faltungsintegralgleichung $k_2 * u=y$ .

Welche Aussagen sind richtig und welche sind falsch?

37) Entscheiden Sie welche der folgenden Aussagen richtig beziehungsweise falsch sind!

	richtig	falsch
a) $(l^1(\mathbb{Z}), * , \|\| \cdot \|\|_{l^1})$ mit $(x * y)_n = \sum_{k= -\infty}^{\infty} x_k y_{n-k}$ ist eine Banachalgebra mit Eins.
b) Der Raum der kompakten Operatoren auf $L^2(\mathbb{R})$ mit der Operatornorm und $(A * B)x = A(Bx)$ ist eine Banachalgebra mit Eins.
c) Die Menge der regulären Elemente in $L^1_{\delta}$ ist offen.
d) $(\lambda \delta - k) \in L^1_{\delta}$ ist regulär, wenn $k(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\|s\|} e^{-1/2\|t-s\|^2} \,ds$ und $\lambda = 6$ .

Stand: 11.06.2024 09:53 Aufgaben 1-6,9: r, 7,8: s

Für Mitarbeiter gibt es auf der Seite Erstellung eines Fragebogens eine Anleitung, wie man solche Fragebögen für eigene Veranstaltungen umsetzt, und weitere Beispiele hat Dr. Klaus Spitzmüller auf seinen Fragebogen-Seiten zum Jahr der Mathematik erstellt. Übrigens: Diese Fragebögen können oft auch sehr ansehnlich ausgedruckt werden, zum Selbsttest ohne Computer.

	richtig	falsch
a) $f(1)=0$
b) $f$ ist nicht differenzierbar
c) $f'(\sqrt[3]{\pi})=1$
d) $f'(t)=\int_{1/t}^{t^2}\cos(st)\,ds$
e) $f'(3)=\sin(27)$

	Ja	Nein
a) $A:(C^1([0,1]), \|\|\cdot \|\|_\infty) \rightarrow C([0,1]); x \mapsto x'$ , Hinweis
b) $B:C([0,1]) \rightarrow C([0,1])$ mit $Ax(t)=\int_{0}^{t} x(s)\,ds$ für $t \in [0,1]$
c) $C:C([0,1]) \rightarrow C([0,1])$ mit $Ax(t)=\int_{0}^{t} (at - at^2)(t-s) \, x(s)\,ds$ für $t \in [0,1], a= 1024/27$
d) $D:(\{x \in L^2(0,1): x/t^{1/3} \in L^2(0,1)\}, \|\|\cdot\|\|_{L^2}) \rightarrow L^2(0,1), x \mapsto x/t^{1/3}$
e) $E:l^2 \rightarrow l^2, (x_n)_n \mapsto (1, x_1, x_2, \dots)$
f) $E:l^2 \rightarrow l^2, (x_n)_n \mapsto (x_2, x_3, x_4, \dots)$
g) $G:l^2 \rightarrow l^2, (x_n)_n \mapsto (a_1x_1, a_2x_2, a_3x_3, \dots)$ , wobei $(a_n)_n$ eine Folge in $\mathbb{R}$ ist mit $\sup_{n \in \mathbb{N}} \|a_n\|=a$
h) $H:l^2 \rightarrow l^2, (x_n)_n \mapsto (\|x_1\|, \|x_2\|, \|x_3\|, \dots)$

	richtig	falsch
a) $X=L^2(0,1), Ax(t)=\int_{0}^{t} \sin(\frac{1}{t-s}) \, x(s)\,ds$
b) $X=L^\infty(0,1), Ax(t)=\frac{1}{4} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+t-s}} \, x(s)\,ds$
c) $X=(C^1(0,1),\|\|\cdot\|\|_\infty), Ax(t)= \int_{0}^{1} \sin(t s) \, x(s)\,ds$

	richtig	falsch
a) $\overline{\mathcal{P}([0,1])}^{\|\|\cdot\|\|_{L^2}}=L^2(0,1)$
b) $\overline{\mathcal{L}(X,\mathbb{R})}^{\|\|\cdot\|\|_{\mathcal{L}(X,\mathbb{R})}} = \mathcal{L}(L^2(0,1), \mathbb{R})$ , wobei $X=(C([0,1]),\|\|\cdot\|\|_{L^2})$
c) $\overline{C^1([0,1])}^{\|\|\cdot\|\|_{\infty}} = C([0,1])$

	richtig	falsch
a) linear und inhomogen.
b) eine Volterra-Integralgleichung.
c) von erster Art.
d) mit schwach singulärem Kern.

	richtig	falsch
e) kann ohne zusätzliche Anfangswerte nicht eindeutig sein.
f) ist in $C^2(0,1)$ und erfüllt $u''(t)+tu'(t)+3u(t)=5\sqrt{t}$ .
g) ist bei Existenz eindeutig und erfüllt $u(0)=1$ und $u'(0)=0$ .
h) existiert und kann mit iterierten Kernen, bzw. einer Neumannschen Reihe, bestimmt werden.
i) ist in $C^3(0,1)$ .

	kompakt	nicht kompakt
a) $\{ x \in C([0,1]): x \in \mathcal{P}([0,1]), \|\|x\|\|_{\infty} \leq 1 \}$
b) $\{ x \in C([0,1]): x \in \mathcal{P}([0,1]), \|\|x\|\|_{\infty} = 1 \}$
c) $\{ x \in C([0,1]): x(t) = (\frac{1}{5}t)^n, n \in \mathbb{N} \}$
d) $\{ x \in C([0,1]): \exists L > 0 \text{ so, dass } \|x(t)-x(s)\| \leq L \|t-s\|, \, \forall t,s \in [0,1], \ \|\|x\|\|_{\infty} \leq 1\}$
e) $\{ x \in C([0,1]): \exists L \in (0,1] \text{ so, dass } \|x(t)-x(s)\| \leq L \|t-s\|, \, \forall t,s \in [0,1], \ \|\|x\|\|_{\infty} \leq 1\}$

	kompakt	nicht kompakt
a) $A:l^2 \rightarrow l^2; (x_n)_n \mapsto (\frac{1}{n}x_n)_n$
b) $A:l^2 \rightarrow l^2; (x_n)_n \mapsto (0, x_1, x_2, x_3, \dots )$
c) $A:C([0,1]) \rightarrow C([0,1])$ mit $Ax(t)=\int_{0}^{1} \log(\sin^2(\frac{t-s}{2})) \, x(s)\,ds$ für $t \in [0,1]$

	richtig	falsch
a) $T_n x \rightarrow Tx, n \rightarrow \infty$ für alle $x \in X$ , dann ist $T$ kompakt.
b) $T_1(B_1(0)) \supset T(B_1(0))$ , dann ist $T$ kompakt.
c) $A_n$ ist kompakt für $n \in \mathbb{N}$ .
d) $A_n x \rightarrow Ax, n \rightarrow \infty$ für alle $x \in X$ , dann ist $A$ kompakt.
e) Eine Teilmenge der kompakten Operatoren $\mathcal{K}$ ist genau dann kompakte, wenn $\mathcal{K}$ kollektiv kompakt ist.

	beschränkt	unbeschränkt	kompakt	nicht kompakt
Operator $A$
Operator $B$
Operator $C$
Operator $D=AB$
Operator $E=BA^{-1}$

	richtig	falsch
a) $(I-A)^2:X \rightarrow X$ ist invertierbar
b) $(I-A):X \rightarrow (I-A)(X)$ ist invertierbar
c) $(I-A):X/ \mathcal{N}(I-A) \rightarrow X/ \mathcal{N}(I-A)$ ist invertierbar
d) $x-Ax \neq 0 \Rightarrow x \in (I-A)^2(X)$
e) $(y-x+Ax) \in \mathcal{N}(I-A)$
f) $(I-A)^2:(I-A)(X) \rightarrow (I-A)(X)$

	bilinear	nicht degeneriert
a) Wenn $A$ linear ist, dann ist $\langle \cdot , \cdot \rangle$
b) Wenn $A$ linear und surjektiv ist, dann ist $\langle \cdot , \cdot \rangle$
c) Ist $A$ linear,injektiv und hat dichtes Bild, dann ist $\langle \cdot , \cdot \rangle$
d) Wenn $A$ linear und bijektiv ist, dann ist $\langle \cdot , \cdot \rangle$
e) Wenn $A:l^1 \rightarrow l^2, (x_n)_n \mapsto ( \frac{1}{n} x_n)_n$ , dann ist $\langle \cdot , \cdot \rangle$
f) Wenn $A:l^1 \rightarrow l^2, (x_n)_n \mapsto (a_{n+1})_n$ , dann ist $\langle \cdot , \cdot \rangle$
g) Wenn $A:C([0,1]) \rightarrow C([0,1]), x \mapsto q x$ mit $q \in C([0,1])$ , dann ist $\langle \cdot , \cdot \rangle$
h) $\displaystyle (\cdot, \cdot):\left\{\begin{array}{ccc} C^1([0,1])\times C^1([0,1]) & \rightarrow & \mathbb{R} \ (x,y) & \mapsto & f(0) \sup_{t \in [0,1]} (g(t))+ \int_0^1 f'(s)g'(s) \,ds \end{array}\right.\$ ist

	richtig	falsch
a) $T(X)^{\bot} = \mathcal{N}(T^*)$
b) $p:X \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \sqrt{(x,x)_X}$ definiert eine Norm.
c) Sei $S$ so, dass $(y,Tx)_X = (Sy,x)_X$ für alle $x,y \in X$ , dann gilt $T^* = S$

	richtig	falsch
a) $\sigma (A) \supset \{ 1 \}$
b) $\sigma (A) \supset \{ 0\}$
c) $\sigma (A) \subset \{ 0\}$
d) $\sigma (A) \backslash \{ 0\} = \{ \lambda_n \in \mathbb{C}: \lambda_n \neq 0, n \in \mathbb{N}, \lim_{n \rightarrow \infty} \lambda_n = 0 \}$
e) Zu jedem $\lambda \in \sigma (A)$ existiert ein $x \in C([0,1])$ mit $Ax=\lambda x$ .

	richtig	falsch
a) Gilt $\sigma (A) \supset \sigma (\bar{A})$ ?
b) Gilt $\sigma (A) \subset \sigma (\bar{A})$ ?
c) Wenn $\mu, \lambda \in \rho (\bar{A}), \mu \neq \lambda$ ist dann $(\lambda I - \bar{A})^{-1} - (\mu I - \bar{A})^{-1}$ invertierbar?
d) Wenn $\sigma (\bar{A}) \backslash \{0 \}$ nur $0$ als Häufungspunkt hat, höchstens abzählbar ist und $0 \in \sigma (\bar{A})$ mit $\dim (\mathcal{N} (\lambda I - \bar{A})) < \infty$ für alle $\lambda \in \sigma (\bar{A}) \backslash \{ 0 \}$ , ist $\bar{A}$ dann kompakt?

	Einfachschichtpotenzial	Doppelschichtpotenzial	keines
a) Das Potenzial ist abgesehen vom Rand stetig.
b) Das Potenzial kann auf dem gesamten Raum stetig ergänzt werden.
c) Das Potenzial kann auf dem gesamten Raum stetig differenzierbar ergänzt werden.
d) Das Potenzial kann senkrecht zum Rand folgendes Verhalten zeigen: schichtpotential2.gif\|center\|Graph einer Funktion mit Sprung
e) Das Potenzial kann senkrecht zum Rand folgendes Verhalten zeigen: schichtpotential1.gif\|center\|Graph einer Funktion mit Spitze
f) Die Normalableitung des Potenzials bezogen zum Rand $\partial D$ stimmt auf linker und rechter Seite überein.
g) Die Normalableitung des Potenzials springt am Rand $\partial D$ genau um den Wert der Dichte $\varphi$ .
h) Das Potenzial ist auf dem ganzen Raum bis auf den Rand harmonisch.

	richtig	falsch
a) $F^*: L^1(\mathbb{R}) \rightarrow BC(\mathbb{R})$ ist ein wohldefinierter linearer, beschränkt Operator.
b) $F^*: BC(\mathbb{R}) \rightarrow L^1(\mathbb{R})$ ist ein wohldefinierter linearer, beschränkt Operator.
c) $\mathcal{FF}x(t) = 2\pi x(-t)$ für $x \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ .
d) $\mathcal{F}(\exp(-a\|\cdot -k\|))(t) = \frac{2a}{a^2+t^2}\exp(-ikt/a), a>0$

	richtig	falsch
a) $\sigma (T_h) \subset \{ \lambda \in \mathbb{R} : 1/(2\pi) \lambda = \int_0^{2\pi} h(s) e^{ikt}, k \in \mathbb{Z}\}$
b) $\sigma (T_h) \supset \{ \lambda \in \mathbb{R} : 1/(2\pi) \lambda = \int_0^{2\pi} h(s) e^{ikt}, k \in \mathbb{Z}\}$
c) $\sigma (T_h) \subset \mathbb{R}$
d) $\sigma (T_h) \subset \{ \lambda \in \mathbb{C}: \|\lambda\| \leq \|\|h\|\|_{L^2} \}$
e) $\sigma (T_h) = \{ \lambda \in \mathbb{C}: \lambda = <h,t^k>_{L^2}, k \in \mathbb{N}_0 \}$

	ja	nein
a) Ist $\mathrm{SL}\,\varphi$ harmonisch in $\mathbb{R}^2$ ?
b) Sei $u\in C^2(\mathbb{R}^2 )$ harmonisch. Gilt dann $u(x)=\mathrm{SL}\,\frac{\partial u}{\partial n}\|_{\partial D}(x)-\mathrm{DL}\,u\|_{\partial D}(x)$ für alle $x\in\mathbb{R}^2$ ?
c) Ist der Operator $\displaystyle A:\left\{\begin{array}{ccc}C(\partial D)&\rightarrow&C(D)\varphi&\mapsto&\mathrm{DL}\,\varphi\end{array}\right.\$ beschränkt?
d) Ist der Operator $\displaystyle B:\left\{\begin{array}{ccc}C(\partial D)&\rightarrow&C(\partial D)\varphi&\mapsto&\int\limits_{\partial D} \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial n(y)}\,\varphi(y)\,ds_y\end{array}\right.\$ beschränkt?
e) Ist der Operator $B$ kompakt?

	richtig	falsch
a) Das Dirichlet-Problem $\Delta u=0$ in $D$ , $u=f$ auf $\partial D$ ist für alle $f\in C(\partial D)$ eindeutig lösbar.
b) Das Neumann-Problem $\Delta u=0$ in $D$ , $\frac{\partial u}{\partial n}=f$ auf $\partial D$ ist für alle $f\in C(\partial D)$ eindeutig lösbar.
c) $I-2K\,:\ C(\partial D)\rightarrow C(\partial D)$ ist ein Isomorphismus.
d) $\dim\,N(I+2K)>0$

	richtig	falsch
a) $k_2(t,s)=\exp(-\|t-s\|)$
b) $k_2(t)=\exp(-\|t\|)$
c) Ist $u$ stetig und beschränkt, so auch $y$ .
d) Ist $u\in L^1(\mathbb{R})$ so ist $y$ stetig.
e) Auch wenn $y$ unbeschränkt ist, kann $u\in L^1(\mathbb{R})$ sein.