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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Integralgleichungen

Fragebogen3_IGL

1) Seien $X\neq Y$ normierte Räume.

Hinweis: a): siehe b); c): siehe Satz 2.24; e) siehe Satz 3.18.

2) Klassifizieren Sie die Operatoren auf $(BC(\mathbb{R}),||\cdot||_\infty)$ :

$(Ax)(t)=e^{-t^2}x(t)\,,\quad (Bx)(t)=\int\limits_0^1 x(s)\,ds\,,$

$(Cx)(t)=\int\limits_{-\infty}^\infty (Ax)(s)\,ds\,,\quad (Dx)(t)=\int\limits_{-\infty}^\infty (A^{-1}x)(s)\,ds\,.$

3) Es sei $(X, \langle .,. \rangle)$ ein Skalarprodukt und $S,T: X\to X$ lineare Operatoren. Welchen Aussagen sind richtig und welche falsch?

4) Hat der Integraloperator $K: C[-1,2] \rightarrow C^1(-1,1)$ gegeben durch $f \mapsto \int\limits_{-1}^{1} \cos(xy)f(y)\,\mathrm dy$ eine Inverse?

Ja	Nein

Was können Sie über die Dimension des Kerns bzw. des Bildes von $K$ sagen?

Stand: 11.06.2024 09:29 Aufgabe 1,3,4: s, 2: r

	richtig	falsch
a) Kann ein Operator $A:X\rightarrow Y$ bijektiv sein?
b) Ist der Integraloperator $A:C[a,b]\rightarrow C^1[a,b]$ aus 2.24 bijektiv?
c) Ist $A:C[1,2]\rightarrow C^1[1,2], x\mapsto \int_1^2 tsx(s)\,ds$ bijektiv?
d) Ist der Operator $I-A:C[a,b]\rightarrow C[a,b]$ aus 2.23 bijektiv?
e) Sei $A:X\rightarrow X$ kompakter, linearer Operator und $I-A:X\rightarrow X$ injektiv. Ist $I-A$ bijektiv?

	richtig	falsch
a) Ist $T$ kompakt, dann ist $T$ auch beschränkt.
b) Ist $S$ beschränkt und $T$ kompakt, dann sind $T\circ S$ und $S\circ T$ kompakt.
c) Ist $T$ kompakt, so auch $T^2$ .
d) Ist $T^2$ kompakt, so auch $T$ .
e) $T$ ist kompakt, falls $\dim (Rang(T))<\infty$ .
f) $T$ ist kompakt, falls $\dim (Rang(T))<\infty$ und $T$ beschränkt.