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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Integralgleichungen

Integralgleichungen

Integralgleichungen (Sommersemester 2006)

Dozent*in: PD Dr. Tilo Arens
Veranstaltungen: Vorlesung (1547), Übung (1548)
Semesterwochenstunden: 4+2
Hörerkreis: Mathematik (ab 6. Semester)

Die Vorlesung richtet sich an Studierende aller Mathematikstudiengänge nach dem Vordiplom. Behandelt werden Integralgleichungen zweiter Art und deren Lösungstheorie, die Riesz-Fredholm Theorie. Weitere Themen sind die Fouriertransfomation und die Behandlung von Faltungsgleichungen.

Voraussetzung zum Verständnis des behandelten Stoffes sind die Grundvorlesungen bis zum Vordiplom. Notwendige Mittel der Funktionalanalysis werden in der Vorlesung bereitgestellt. Die Vorlesung kann aber auch als Vertiefung und Anwendung der aus der Funktionalanalysis bekannten Begriffe und Methoden angesehen werden.

Termine
Vorlesung:	Mittwoch 8:00-9:30	Seminarraum 33	Beginn: 26.4.2006
	Freitag 11:30-13:00	Seminarraum 31
Übung:	Dienstag 15:45-17:15	Seminarraum 12

Lehrende
Dozent	PD Dr. Tilo Arens
	Sprechstunde: Di 15:00-16:00
	Zimmer 1.047 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: tilo.arens@kit.edu
Übungsleiter	Prof. Dr. Sebastian Ritterbusch
	Sprechstunde: nach Absprache
	Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: sebastian.ritterbusch@partner.kit.edu

Zum Inhalt der Vorlesung

Eine Gleichung der Form

$\varphi(t) - \int_a^b k(t,s) \, \varphi(s) \, ds = \psi(t), \qquad t \in (a,b),$

bei der die Unbekannte $\varphi$ zu bestimmen ist, bezeichnet man als eine (Fredholm)-Integralgleichung zweiter Art. Die wesentliche Fragestellung der Vorlesung ist, unter welchen Umständen eine solche Gleichung eindeutig lösbar ist. Eine Reihe von Aspekten hat hierauf Einfluss, hier eine Auswahl:

Die Glattheit der Kernfunktion k des Integraloperators ist wesentlich für seine Abbildungseigenschaften. Wir werden im wesentlichen stetige oder schwach singuläre Kerne betrachten, die auf kompakte Integraloperatoren führen.
Der Raum, in dem die Lösung gesucht wird, kann unterschiedlich gewählt werden. Typischerweise betrachtet man solche Integralgleichungen in den Räumen $C[a,b]$ oder in $L^2(a,b)$ .
Die Intervallgrenzen a, b haben in sofern einen wesentlichen Einfluss, dass kompakte Intervalle zu einem ganz anderen Verhalten der Integraloperatoren führen als unbeschränkte Intervalle.

In einem großen Teil der Vorlesung wollen wir uns mit der Lösbarkeitstheorie für solche Integralgleichungen auseinandersetzen, der Riesz-Fredholm Theorie. Der Beweis der drei Rieszschen Sätze und der Fredholmschen Alternative bilden hierbei das Ziel. Im weiteren Verlauf beschäftigen wir uns mit Erweiterungen und Anwendungen dieser Begriffe, etwa mit der Potenzialtheorie, der Fouriertransformation und mit Faltungsgleichungen.

Übungsblätter

Begleitend zur Vorlesung gibt es Übungsblätter und eine Übung, in der der Stoff der Vorlesung an Aufgaben vertieft und eingeübt werden kann.

Datum	Übungsblatt
28.4.2006	1. Übungsblatt
5.5.2006	2. Übungsblatt
12.5.2006	3. Übungsblatt
19.5.2006	4. Übungsblatt
26.5.2006	5. Übungsblatt
2.6.2006	6. Übungsblatt
9.6.2006	7. Übungsblatt
16.6.2006	8. Übungsblatt
23.6.2006	9. Übungsblatt
30.6.2006	10. Übungsblatt
7.7.2006	11. Übungsblatt
14.7.2006	12. Übungsblatt
21.7.2006	13. Übungsblatt