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Fragebogen

Dies ist ein elektronischer Fragebogen zum Selbsttest mit Aufgaben aus verschiedenen Themen der Vorlesung Lineare Integralgleichungen.

Die Fragen decken aber weder alle Themen der Vorlesung ab, noch ist ein korrekt gesetzter Haken eine Garantie für Verständnis- wirklich wichtig ist, wie der Bogen bearbeitet wird:

Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

  1. Sind Ihnen alle Begriffe klar?
  2. Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
  3. Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie beweisen?

Sollten Sie bei einem dieser Punkte unsicher sein, so schauen Sie nochmal in das Skript oder die Übungsblätter zur Vorlesung Integralgleichungen oder fragen Sie Prof. Dr. Sebastian Ritterbusch oder PD Dr. Frank Hettlich zum Thema. Sehr freuen wir uns, wenn Sie Vorschläge oder Meinungen zum Fragebogen haben, und besonders, wenn Sie einen Fehler oder Ungenauigkeiten finden.




Fragebogen zu linearen Integralgleichungen




1. Einführung - Beispiele und Klassifizierung



1) Sei  f \in C([0,1]) und  \gamma, \omega \in \mathbb{R}. Betrachten Sie die Lösung x \in C^2([0,1]) des Anfangswertproblems

$ x''(t) + 2 \gamma x'(t) + \omega^2 x(t) = f(t), \quad x(0)=x'(0)=0, \quad t \in [0,1]$

und markieren Sie die passenden  k:[0,1]^2 \rightarrow [0,1] und  g:[0,1] \rightarrow [0,1] so, dass  x eine Lösung der Integralgleichung

$ x(t) + \int\limits_{0}^{1} k(t,s) \, x(s) \,ds = g(t), \quad t \in [0,1]$

ist!

  \displaystyle k(t,s)=\left\{\begin{array}{cc} \omega^2 (t-s) & s \leq t \ 0 & s>t \end{array}\right.\
  \displaystyle k(t,s)=\left\{\begin{array}{cc} 2\gamma + \omega^2 (t-s) & s \leq t \ 0 & s>t \end{array}\right.\
  \displaystyle k(t,s)=\left\{\begin{array}{cc} \gamma\omega^2 (t-s)s & s \leq t \ 0 & s>t \end{array}\right.\
 k(t,s)=\omega^2(t-s)
 g(t)=f(t)
 g(t)= \int^1_0 k(t,s) \, x(s) \,ds
 g(t)= \int^t_0 (t-s) \, x(s) \,ds


2) Bestimmen Sie falls möglich, die erste Ableitung der Funktion

$f(t)=\int\limits_{1/t}^{t^2} \frac{1}{ s}\,\sin(ts)\,ds\, ,\quad t>0\,,$

und ordnen Sie die folgenden Aussagen nach richtig und falsch ein:

richtigfalsch
a) f(1)=0
b) f ist nicht differenzierbar
c) f'(\sqrt[3]{\pi})=1
d) f'(t)=\int_{1/t}^{t^2}\cos(st)\,ds
e) f'(3)=\sin(27)


3) Betrachten Sie die Integralgleichung

 x(t) - \int\limits^1_0 e^{t+s} \, x(s) \, ds = t, \quad t \in [0,1].

Die Lösung hat folgende Gestalt...

 ce^{t+2} +t
 c(e^t+t)
 ce^t+e^t t

...mit Konstante...

 c= \frac{1}{2} (e^{-2}+1)^{-1}
 c= (1+ \frac{e^2}{2} (1-e^2))^{-1}
 c= \frac{2}{e^2-1}



2. Volterrasche Integralgleichungen


4) Betrachten Sie die folgenden Operatoren! Ist der jeweilige Operator linear und beschränkt?

JaNein
a) A:(C^1([0,1]), ||\cdot ||_\infty) \rightarrow C([0,1]); x \mapsto x', Hinweis
b) B:C([0,1]) \rightarrow C([0,1]) mit Ax(t)=\int_{0}^{t} x(s)\,ds für t \in [0,1]
c) C:C([0,1]) \rightarrow C([0,1]) mit Ax(t)=\int_{0}^{t} (at - at^2)(t-s) \, x(s)\,ds für t \in [0,1], a= 1024/27
d) D:(\{x \in L^2(0,1): x/t^{1/3} \in L^2(0,1)\}, ||\cdot||_{L^2}) \rightarrow L^2(0,1), x \mapsto x/t^{1/3}
e) E:l^2 \rightarrow l^2, (x_n)_n \mapsto (1, x_1, x_2, \dots)
f) E:l^2 \rightarrow l^2, (x_n)_n \mapsto (x_2, x_3, x_4, \dots)
g) G:l^2 \rightarrow l^2, (x_n)_n \mapsto (a_1x_1, a_2x_2, a_3x_3, \dots), wobei  (a_n)_n eine Folge in  \mathbb{R} ist mit  \sup_{n \in \mathbb{N}} |a_n|=a
h) H:l^2 \rightarrow l^2, (x_n)_n \mapsto (|x_1|, |x_2|, |x_3|, \dots)

Hinweis: l^2 ist definiert als \{(x_n)_n \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}: \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 < \infty \} mit Norm ||(x_n)_n|| = (\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2)^{1/2}.

Geben Sie die Norm des entsprechenden Operators an. Tippen Sie nan ein, falls der Operator nicht linear oder unbeschränkt ist.

5)  ||A|| =

6)  ||B|| =

7)  ||C|| =

8)  ||D|| =

9)  ||E|| =

10)  ||F|| =

11)  ||G|| =

12)  ||H|| =


13) Sei x,y \in X, A:X \rightarrow X. Stimmt es, dass Sie aus dem Störungslemma folgern können, dass x-Ax=y eine eindeutige Lösung besitzt? Wenn ...

richtigfalsch
a) X=L^2(0,1), Ax(t)=\int_{0}^{t} \sin(\frac{1}{t-s}) \, x(s)\,ds
b) X=L^\infty(0,1), Ax(t)=\frac{1}{4} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+t-s}} \, x(s)\,ds
c) X=(C^1(0,1),||\cdot||_\infty), Ax(t)= \int_{0}^{1} \sin(t s) \, x(s)\,ds


14) Sei \mathcal{P}([0,1]) der Raum der reellen Polynome auf [0,1]. Dann gilt, dass C([0,1]) die Vervollständigung von \mathcal{P}([0,1]) bezüglich ||\cdot||_\infty ist (kurz \overline{ \mathcal{P}([0,1])}^{||\cdot||_{\infty}} = C([0,1]) ).
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch?

richtigfalsch
a) \overline{\mathcal{P}([0,1])}^{||\cdot||_{L^2}}=L^2(0,1)
b) \overline{\mathcal{L}(X,\mathbb{R})}^{||\cdot||_{\mathcal{L}(X,\mathbb{R})}} = \mathcal{L}(L^2(0,1), \mathbb{R}), wobei X=(C([0,1]),||\cdot||_{L^2})
c) \overline{C^1([0,1])}^{||\cdot||_{\infty}} = C([0,1])

Hinweis: \mathcal{L}(X,Y) ist der Raum der linearen beschränkten Operatoren von  X nach  Y und ||\cdot||_{\mathcal{L}(X,Y)} die dazugehörige Operatornorm.


15) Gesucht sind Lösungen u\in C([0,1]) der Integralgleichung

$u(t)+\int\limits_0^t (2t-s)u(s)\,ds=1+\frac43 t^{5/2}\,.$

Die Integralgleichung ist ...

richtigfalsch
a) linear und inhomogen.
b) eine Volterra-Integralgleichung.
c) von erster Art.
d) mit schwach singulärem Kern.

Eine Lösung u ...

richtigfalsch
e) kann ohne zusätzliche Anfangswerte nicht eindeutig sein.
f) ist in C^2(0,1) und erfüllt u''(t)+tu'(t)+3u(t)=5\sqrt{t}.
g) ist bei Existenz eindeutig und erfüllt u(0)=1 und u'(0)=0.
h) existiert und kann mit iterierten Kernen, bzw. einer Neumannschen Reihe, bestimmt werden.
i) ist in C^3(0,1).



3. Fredholmsche Integralgleichungen


16) Sind die folgenden Teilmengen von C([0,1]) kompakt?

kompaktnicht kompakt
a) \{ x \in C([0,1]): x \in \mathcal{P}([0,1]), ||x||_{\infty} \leq 1 \}
b) \{ x \in C([0,1]): x \in \mathcal{P}([0,1]), ||x||_{\infty} = 1 \}
c) \{ x \in C([0,1]): x(t) = (\frac{1}{5}t)^n, n \in \mathbb{N} \}
d)\{ x \in C([0,1]): \exists L > 0 \text{ so, dass } |x(t)-x(s)| \leq L |t-s|, \, \forall t,s \in [0,1], \  ||x||_{\infty} \leq 1\}
e)\{ x \in C([0,1]): \exists L \in (0,1] \text{ so, dass } |x(t)-x(s)| \leq L |t-s|, \, \forall t,s \in [0,1], \   ||x||_{\infty} \leq 1\}


17) Klassifizieren Sie die folgenden linearen beschränkten Operatoren:

kompaktnicht kompakt
a) A:l^2 \rightarrow l^2; (x_n)_n \mapsto (\frac{1}{n}x_n)_n
b) A:l^2 \rightarrow l^2; (x_n)_n \mapsto (0, x_1, x_2, x_3, \dots )
c) A:C([0,1]) \rightarrow C([0,1]) mit Ax(t)=\int_{0}^{1} \log(\sin^2(\frac{t-s}{2})) \, x(s)\,ds für t \in [0,1]


18) Sei X ein Banachraum,  A,T,T_n \in \mathcal{L}(X) , zusätzlich seien  T_n kompakt für alle  n \in \mathbb{N} und  \{ A_n \in \mathcal{L}(X): n \in \mathbb{N} \} kollektiv kompakt.
Hinweis: Man nennt \mathcal{A} \subset \mathcal{L}(X) kollektiv kompakt, wenn für jedes beschränkte  U \subset X die Menge \bigcup\limits_{A \in \mathcal{A}} A(U) = \{ Ax : A\in \mathcal{A}, x \in U \} relativ kompakt ist.
Entscheiden Sie ob die jeweilige Aussage richtig oder falsch ist!

richtigfalsch
a) T_n x \rightarrow Tx, n \rightarrow \infty für alle x \in X, dann ist T kompakt.
b) T_1(B_1(0)) \supset T(B_1(0)), dann ist T kompakt.
c) A_n ist kompakt für n \in \mathbb{N}.
d) A_n x \rightarrow Ax, n \rightarrow \infty für alle x \in X, dann ist A kompakt.
e) Eine Teilmenge der kompakten Operatoren \mathcal{K} ist genau dann kompakte, wenn \mathcal{K} kollektiv kompakt ist.


19) Klassifizieren Sie die Operatoren auf (BC(\mathbb{R}),||\cdot||_\infty):

$(Ax)(t)=e^{-t^2}x(t)\,,\quad (Bx)(t)=\int\limits_0^1 x(s)\,ds\,,$

$(Cx)(t)=\int\limits_{-\infty}^\infty (Ax)(s)\,ds.$

beschränktunbeschränktkompaktnicht kompakt
Operator A
Operator B
Operator C
Operator D=AB
Operator E=BA^{-1}


20) Bestimmen Sie die Rieszsche Zahl r des Operators L aus der Gleichung

$\underbrace{(I-A)}_{=:L} x=y\in\mathbb{C}^4\,,\quad A=\left(\begin{array}{rrrr}2&-1&1&1\1&1&1&1\3&4&2&-1\-4&-3&-2&1\end{array}\right)\,.$

Die Rieszsche Zahl r von L ist .


Bestimmen Sie die Rieszsche Zahl r des Operators L=I-A, wenn ...
21)  A:l^2 \rightarrow l^2, (x_n)_{n} \mapsto ( x_2/2, x_3/3, x_4/4, \dots ), dann ist  r=.

22)  A:l^2 \rightarrow l^2, (x_n)_{n} \mapsto ( \frac{1}{n} x_n )_{n}, dann ist  r=.

23)  A:C([0,1]) \rightarrow C([0,1]) mit  Ax(t) = \int^1_0 e^{t+s} \, x(s) \, ds , dann ist  r=.

24)   A:C([0,1]) \rightarrow C([0,1]) mit  Ax(t) = \frac{2}{e^2-1} \int^1_0 e^{t+s} \, x(s) \, ds , dann ist  r=.


25) Sei X ein normierter Vektorraum, x,y \in X und A \in \mathcal{L}(X,X) ein kompakter Operator so, dass I-A die Rieszsche Zahl r=1 hat. Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch?

richtigfalsch
a) (I-A)^2:X \rightarrow X ist invertierbar
b) (I-A):X \rightarrow (I-A)(X) ist invertierbar
c) (I-A):X/ \mathcal{N}(I-A) \rightarrow X/ \mathcal{N}(I-A) ist invertierbar
d) x-Ax \neq 0 \Rightarrow x \in (I-A)^2(X)
e) (y-x+Ax) \in \mathcal{N}(I-A)
f) (I-A)^2:(I-A)(X) \rightarrow (I-A)(X)

Hinweis: X/ \mathcal{N}(I-A) = \{ x+u=[x]: u \in \mathcal{N}(I-A), x \in X \} ist der Quotientenraum von X nach \mathcal{N}(I-A) mit ||[x]||_{X/ \mathcal{N}(I-A)}= \inf_{u \in \mathcal{N}(I-A)} ||x+u||_X.


26) Sei  (X,( \cdot , \cdot )_X) ein Hilbertraum,  Y ein normierter Vektorraum,  A: Y \rightarrow X und  \langle \cdot , \cdot \rangle :Y \times X \rightarrow \mathbb{R}, \langle y , x \rangle \mapsto (Ay, x)_X. Klassifizieren Sie die Abbildung  \langle \cdot , \cdot \rangle .

bilinearnicht degeneriert
a) Wenn A linear ist, dann ist \langle \cdot , \cdot \rangle
b) Wenn A linear und surjektiv ist, dann ist \langle \cdot , \cdot \rangle
c) Ist A linear,injektiv und hat dichtes Bild, dann ist \langle \cdot , \cdot \rangle
d) Wenn A linear und bijektiv ist, dann ist \langle \cdot , \cdot \rangle
e) Wenn A:l^1 \rightarrow l^2, (x_n)_n \mapsto ( \frac{1}{n} x_n)_n, dann ist \langle \cdot , \cdot \rangle
f) Wenn A:l^1 \rightarrow l^2, (x_n)_n \mapsto (a_{n+1})_n, dann ist \langle \cdot , \cdot \rangle
g) Wenn A:C([0,1]) \rightarrow C([0,1]), x \mapsto q x mit q \in C([0,1]), dann ist \langle \cdot , \cdot \rangle
h) \displaystyle (\cdot, \cdot):\left\{\begin{array}{ccc} C^1([0,1])\times C^1([0,1]) & \rightarrow & \mathbb{R} \ (x,y) & \mapsto & f(0) \sup_{t \in [0,1]} (g(t))+ \int_0^1 f'(s)g'(s) \,ds \end{array}\right.\ ist


27) Folgenden Aussagen gelten, in einem Hilbertraum. Sind die Aussagen auch noch richtig, wenn (X,X,(\cdot, \cdot)_X) nur ein Dualsystem ist?
Sei T \in \mathcal{L}(X) und der adjungierte Operator T^* existiere.

richtigfalsch
a) T(X)^{\bot} = \mathcal{N}(T^*)
b) p:X \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \sqrt{(x,x)_X} definiert eine Norm.
c) Sei S so, dass (y,Tx)_X = (Sy,x)_X für alle x,y \in X, dann gilt T^* = S


28) Wir definieren ( x , y)_1 = \int^1_0 x(s) y(s) q(s) \, ds, wobei q \in C([0,1]), q(t)>0, \forall t \in [0,1] und ( x , y)_2 = \int^1_0 x(p(s)) y(s) \, ds, wobei p \in C^1([0,1]), p(t) \neq 0, \forall t \in [0,1]. Dann sind (C([0,1]),C([0,1]),( \cdot , \cdot)_j) für j \in \{ 1,2 \} Dualsysteme. Wenn Ax(t)= \int^t_0 k(t,s) \, x(s) \, ds und  A^*_j die Adjungierten von  A bezüglich ( \cdot , \cdot )_j sind, welche Gleichungen sind dann richtig?

richtig
a) A^*_1x(t)= \int\limits^1_t k(s,t) \, x(s) \, ds
b) A^*_1x(t)= \int\limits^1_t k(s,t) (q(s))^{-1} \, x(s) \, ds
c) A^*_1x(t)= \int\limits^1_t k(t,s) q(s) (q(t))^{-1} \, x(s) \, ds
d) A^*_2x(t)= \int\limits^{p^{-1}(1)}_t k(p(s),p(t)) p'(t) \, x(s) \, ds
e) A^*_2x(t)= \int\limits^{p^{-1}(1)}_{p^{-1}(t)} k(t,p^{-1}(t)) (p^{-1})'(t) \, x(s) \, ds
f) A^*_2x(t)= \int\limits^1_t k(s,p(t)) (p'(s))^{-1}\, x(p^{-1}(s)) \, ds


29) Sei A:l^2 \rightarrow l^2, (x_n)_n \mapsto ( \frac{1}{n} x_n)_n. Markieren Sie die Mengen die mit dem Bild von I-A übereinstimmen!

a) (I-A)(l^2)= \{ x \in l^2 : (n x_n)_n \in l^2, x_1=0\}
b) (I-A)(l^2)= \{ x \in l^2 : x_1=0\}
c) (I-A)(l^2)= \{ x \in l^2 : (n x_n)_n \in l^2, x_1=-1\}

30) Sei  A:C([0,1]) \rightarrow C([0,1]) ein Integraloperator mit stetigem oder schwach singulärem Kern und Ax(t) = \int_0^t k(t,s) x(s) \, ds . Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch?

richtigfalsch
a)  \sigma (A) \supset \{ 1 \}
b)  \sigma (A) \supset \{ 0\}
c)  \sigma (A) \subset \{ 0\}
d) \sigma (A) \backslash \{ 0\} = \{ \lambda_n \in \mathbb{C}: \lambda_n \neq 0, n \in \mathbb{N}, \lim_{n \rightarrow \infty} \lambda_n = 0 \}
e) Zu jedem  \lambda \in \sigma (A) existiert ein x \in C([0,1]) mit Ax=\lambda x .


31) Sei X ein Banachraum, Y \subset X ein normierter Vektorraum der dicht in X liegt, A \in \mathcal{L}(Y) und \bar{A} \in \mathcal{L}(X) die stetige Fortsetzung von A auf X.

richtigfalsch
a) Gilt  \sigma (A) \supset \sigma (\bar{A}) ?
b) Gilt  \sigma (A) \subset \sigma (\bar{A}) ?
c) Wenn  \mu, \lambda \in \rho (\bar{A}), \mu \neq \lambda ist dann (\lambda I - \bar{A})^{-1} - (\mu I - \bar{A})^{-1} invertierbar?
d) Wenn  \sigma (\bar{A}) \backslash \{0 \} nur 0 als Häufungspunkt hat, höchstens abzählbar ist und 0 \in \sigma (\bar{A}) mit \dim (\mathcal{N} (\lambda I - \bar{A})) < \infty für alle \lambda \in \sigma (\bar{A}) \backslash \{ 0 \}, ist \bar{A} dann kompakt?


32) Sei  h:\mathbb(R) \rightarrow \mathbb{C} 2\pi-periodisch und  h\mid_{(0,2\pi)} \in L^2(0,2\pi) . Betrachte den Operator  T_h:L^2(0,2\pi) \rightarrow L^2(0,2\pi), T_h x(t) = \int_0^{2\pi} x(s) \, h(t-s) \, ds , dann gilt für das Spektrum von T_h:

richtigfalsch
a)  \sigma (T_h) \subset \{ \lambda \in \mathbb{R} : 1/(2\pi) \lambda = \int_0^{2\pi} h(s) e^{ikt}, k \in \mathbb{Z}\}
b)  \sigma (T_h) \supset \{ \lambda \in \mathbb{R} : 1/(2\pi) \lambda = \int_0^{2\pi} h(s) e^{ikt}, k \in \mathbb{Z}\}
c)  \sigma (T_h) \subset \mathbb{R}
d)  \sigma (T_h) \subset \{ \lambda \in \mathbb{C}: |\lambda| \leq ||h||_{L^2} \}
e) \sigma (T_h) = \{ \lambda \in \mathbb{C}: \lambda = <h,t^k>_{L^2}, k \in \mathbb{N}_0 \}



4. Die Integralgleichungsmethode


33) Sei D\subseteq\mathbb{R}^2 ein Gebiet mit Rand \partial D\in C^2. Weiterhin \Phi sei die Fundamentallösung der Laplace-Gleichung und \varphi\in C(\partial D) eine stetige Funktion auf dem Rand und \varphi\not=0.

Beantworten Sie die Fragen:

janein
a) Ist \mathrm{SL}\,\varphi harmonisch in \mathbb{R}^2?
b) Sei u\in C^2(\mathbb{R}^2 ) harmonisch. Gilt dann u(x)=\mathrm{SL}\,\frac{\partial u}{\partial n}|_{\partial D}(x)-\mathrm{DL}\,u|_{\partial D}(x) für alle x\in\mathbb{R}^2?
c) Ist der Operator \displaystyle A:\left\{\begin{array}{ccc}C(\partial D)&\rightarrow&C(D)\varphi&\mapsto&\mathrm{DL}\,\varphi\end{array}\right.\ beschränkt?
d) Ist der Operator \displaystyle B:\left\{\begin{array}{ccc}C(\partial D)&\rightarrow&C(\partial D)\varphi&\mapsto&\int\limits_{\partial D} \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial n(y)}\,\varphi(y)\,ds_y\end{array}\right.\ beschränkt?
e) Ist der Operator B kompakt?


33) Sei D\subseteq\mathbb{R}^2 ein Gebiet mit Rand \partial D\in C^2. Welche der Aussagen sind richtig, welche sind falsch?

richtigfalsch
a) Das Dirichlet-Problem \Delta u=0 in D, u=f auf \partial D ist für alle f\in C(\partial D) eindeutig lösbar.
b) Das Neumann-Problem \Delta u=0 in D, \frac{\partial u}{\partial n}=f auf \partial D ist für alle f\in C(\partial D) eindeutig lösbar.
c) I-2K\,:\ C(\partial D)\rightarrow C(\partial D) ist ein Isomorphismus.
d) \dim\,N(I+2K)>0

Hinweis: Der Randintegraloperator K ist in Definition und Satz 4.9 definiert:

$K\varphi(x)=\int\limits_{\partial\Omega} \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial n(y)}\,\varphi(y)\,ds_y\,,\quad x\in\partial\Omega$

Es ist das "auf dem Rand ausgewertete Doppelschichtpotential".


34) Welche Aussagen treffen auf das Einfachschicht- und/oder das Doppelschichtpotenzial einer Dichte \varphi auf dem Rand eines Gebiets D oder auf keine der beiden zu?

EinfachschichtpotenzialDoppelschichtpotenzialkeines
a) Das Potenzial ist abgesehen vom Rand stetig.
b) Das Potenzial kann auf dem gesamten Raum stetig ergänzt werden.
c) Das Potenzial kann auf dem gesamten Raum stetig differenzierbar ergänzt werden.
d) Das Potenzial kann senkrecht zum Rand folgendes Verhalten zeigen: Graph einer Funktion mit Sprung
e) Das Potenzial kann senkrecht zum Rand folgendes Verhalten zeigen: Graph einer Funktion mit Spitze
f) Die Normalableitung des Potenzials bezogen zum Rand \partial D stimmt auf linker und rechter Seite überein.
g) Die Normalableitung des Potenzials springt am Rand \partial D genau um den Wert der Dichte \varphi.
h) Das Potenzial ist auf dem ganzen Raum bis auf den Rand harmonisch.



5. Faltungsintegralgleichungen


35) Sei  \mathcal{F} die Fouriertransformation mit  \mathcal{F}x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(s) \, e^{-its} \, ds für  x \in \mathcal{S}(\mathbb{R}) und  F^* die inverse Fouriertransformation. Welche Aussagen sind richtig, welche falsch?

richtigfalsch
a)  F^*: L^1(\mathbb{R}) \rightarrow BC(\mathbb{R}) ist ein wohldefinierter linearer, beschränkt Operator.
b)  F^*: BC(\mathbb{R}) \rightarrow L^1(\mathbb{R}) ist ein wohldefinierter linearer, beschränkt Operator.
c)  \mathcal{FF}x(t) = 2\pi x(-t) für  x \in \mathcal{S}(\mathbb{R}) .
d)  \mathcal{F}(\exp(-a|\cdot -k|))(t) = \frac{2a}{a^2+t^2}\exp(-ikt/a), a>0


36) Die Integralgleichung
\int\limits_{-\infty}^{\infty} k_1(t,s)\,u(s)\,ds=y(t)\, ,\quad k_1(t,s)=\left\{ \begin{array}{cc}\exp(s-t)\, ,&t\geq s\ \exp(t-s)\, ,&t<s\end{array} \right.

ist eine Faltungsintegralgleichung k_2 * u=y.

Welche Aussagen sind richtig und welche sind falsch?

richtigfalsch
a) k_2(t,s)=\exp(-|t-s|)
b) k_2(t)=\exp(-|t|)
c) Ist u stetig und beschränkt, so auch y.
d) Ist u\in L^1(\mathbb{R}) so ist y stetig.
e) Auch wenn y unbeschränkt ist, kann u\in L^1(\mathbb{R}) sein.


37) Entscheiden Sie welche der folgenden Aussagen richtig beziehungsweise falsch sind!

richtigfalsch
a)  (l^1(\mathbb{Z}), * , || \cdot ||_{l^1}) mit  (x * y)_n = \sum_{k= -\infty}^{\infty} x_k y_{n-k} ist eine Banachalgebra mit Eins.
b) Der Raum der kompakten Operatoren auf  L^2(\mathbb{R}) mit der Operatornorm und  (A * B)x = A(Bx)  ist eine Banachalgebra mit Eins.
c) Die Menge der regulären Elemente in  L^1_{\delta} ist offen.
d)  (\lambda \delta - k) \in L^1_{\delta} ist regulär, wenn k(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-|s|} e^{-1/2|t-s|^2} \,ds und  \lambda = 6.


Stand: 20.07.2017 15:39 Aufgaben 1-6,9: r, 7,8: s


Für Mitarbeiter gibt es auf der Seite Erstellung eines Fragebogens eine Anleitung, wie man solche Fragebögen für eigene Veranstaltungen umsetzt, und weitere Beispiele hat Dr. Klaus Spitzmüller auf seinen Fragebogen-Seiten zum Jahr der Mathematik erstellt. Übrigens: Diese Fragebögen können oft auch sehr ansehnlich ausgedruckt werden, zum Selbsttest ohne Computer.