Inverse Probleme (Wintersemester 2010/11)
- Dozent*in: PD Dr. Tilo Arens
- Veranstaltungen: Vorlesung (1051), Übung (1052)
- Semesterwochenstunden: 4+2
Die Vorlesung Inverse Probleme richtet sich an Studierende der Mathematik ab dem 5. Fachsemester. Auch für Studierende anderer Studiengänge, etwa der Physik, mit entsprechend soliden mathematischen Grundkenntnissen, kann die Vorlesung geeignet sein.
| Termine | ||
|---|---|---|
| Vorlesung: | Montag 11:30-13:00 | 1C-04 |
| Donnerstag 9:45-11:15 | 1C-01 | |
| Übung: | Freitag 9:45-11:15 | Z 2 |
| Lehrende | ||
|---|---|---|
| Dozent | PD Dr. Tilo Arens | |
| Sprechstunde: Mittwoch 11:00-12:00 Uhr | ||
| Zimmer 1.047 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: tilo.arens@kit.edu | Übungsleiter | Dr. Sven Heumann |
| Sprechstunde: Mittwoch, 15:00 - 16:30 Uhr und nach Vereinbarung | ||
| Zimmer 4C-02 Allianz-Gebäude (05.20) | ||
| Email: sven.heumann@kit.edu | ||
Zusammenfassung
Von Hadamard stammt die Bezeichnung des gut gestellten Problems als ein Problem, dass eine eindeutig bestimmte Lösung besitzt, die stetig von den Daten abhängt. Solche Probleme, etwa das Lösen eines Randwert- oder Anfangswertproblems, werden als direkte Probleme bezeichnet. Inverse Probleme sind in einem gewissen Sinne Umkehrungen von direkten Problemen. Hier sind oft die Eigenschaften eines gut gestellten Problems verletzt. Insbesondere hängt die Lösung eines Inversen Problems i.A. nicht stetig von den Randbedingungen ab.
Mathematisch lässt sich die Lösung eines direkten Problems häufig als Anwendung eines kompakten Operators auf die Daten beschreiben. Im Inversen Problem ist dieser Operator zu invertieren, was auf einem unendlich dimensionalen Raum stets bedeutet, dass dieser inverse Operator unbeschränkt ist. In der Vorlesung sollen Verfahren, sogenannte Regularisierungsverfahren, vorgestellt und analysiert werden, die trotzdem eine vernünftige Lösung der Inversen Probleme erlauben.
Inverse Probleme stellen eine mathematisch interdisziplinäres Feld da: Es kommen theoretische Überlegungen speziell aus der Funktionalanalysis zum Einsatz, die Implementierung von Lösungsverfahren ist der Numerik zuzuordnen. Die mathematischen Probleme sind oft durch Anwendungen motiviert (Computertomographie, Elektrische Impedanztomographie, Radar, Sonar, ...).
Inhalt
- Einführung Diskussion einfacher inverser Probleme, um sich der Problemstellung zu nähern.
- Regularisierung schlecht gestellter linearer Probleme Im einfachsten Fall ist ein Inverses Problem die Lösung einer Operatorgleichung mit einem kompakten linearen Operator in einem Hilbertraum. In diesem Fall können Regularisierungen aus der Spektraldarstellung des kompakten Operators gewonnen werden.
- Tikhonov-Regularisierung Das bekannteste Regularisierungsverfahren, die Tikhonov-Regularisierung, kann über Spektraldarstellungen, über eine Operatorgleichung oder die Minimierung eines Funktionals (Optimierung) gewonnen werden. Anhand dieses Verfahrens soll beispielhaft ein Regularisierungsverfahren genauer untersucht werden.
- Iterative Regularisierungsverfahren Eine wichtige Klasse von Regularisierungsverfahren sind die iterativen Verfahren, die auch bei nicht-linearen inversen Problemen angewandt werden können. In der Vorlesung werden die Landweber-Iteration und das CG-Verfahren besprochen
- Nichtlineare schlecht gestellte Probleme Viele in der Praxis auftretende schlecht gestellte Probleme sind nicht-linear. Somit kann die Spektraltheorie für lineare kompakte Operatoren nicht mehr angewandt werden. Man benötigt andere Regularitätseigenschaften der Operatoren, zum Beispiel die Frechet-Differenzierbarkeit. Auf dieser Basis wird in der Vorlesung der Levenberg-marquardt Algorithmus als Beispiel für ein regularisiertes Newton-Verfahren besprochen.
- Impedanztomographie und die Faktorisierungsmethode Die von Kirsch entwickelte Faktorisierungsmethode stellt einen völlig neuen Zugang zur Lösung spezieller inverser Probleme dar, der Gebietsrekonstruktionsprobleme. Am Beispiel der elektrischen Impedanztomographie soll die Methode erläutert werden.
Voraussetzungen
Die Vorlesung setzt nur Kenntnisse aus den mathematischen Vorlesungen der ersten 4 Fachsemester voraus. Darüber hinausgehende Hilfsmittel, speziell aus der Funktionalanalysis, werden in der Vorlesung behandelt. Natürlich vereinfachen es vorhandene Kenntnisse aus diesem Bereich, dem Stoff zu folgen. Andererseits stellt die Vorlesung auch eine gute Ergänzung zu einem parallelen Besuch der Funktionalanalysis dar.
Literatur
Hier eine Liste mit ergänzenden Literaturempfehlungen zur Vorlesung.
Übungen
Zur Vorlesung werden wöchentlich Übungen angeboten. Hier soll einerseits der Stoff der Vorlesung anhand von Übungsaufgaben vertieft werden, andererseits soll auch die Gelegenheit zu geben, am Computer bei der Lösung von Inversen Problemen zu experimentieren.
Übungsblätter
| Datum | Übungsblatt | Material/Lösung | Themen |
| 21.10.2010 | Matlab 1 | LGS mit Hilbert-Matrix | |
| 25.10.2010 | Blatt 1 | Lösungen | Kompakte Operatoren, Adjungierter Operator |
| 29.10.2010 | Blatt 2 | Lösungen Teil 1, Lösungen komplett | Hilberträume, direktes und inverses Wärmeleitproblem mit Regularisierung |
| 8.11.2010 | Blatt 3 | Lösungen | Eigensystem, Singulärwertzerlegung von Intgeraloperatoren |
| 18.11.2010 | Matlab 2 | Programmdateien | Regularisierung numerischen Differenzierens |
| 22.11.2010 | Blatt 4 | Lösungen Teil 1, Lösungen komplett | Iterierte Tikhonov-Regularisierung, L-Kurve, verallg. Diskrepanzprinzip |
| 29.11.2010 | Blatt 5 | Lösungen | Beschleunigtes Landweber-Verfahren |
| 6.12.2010 | Blatt 6 | Lösungen | CG-Verfahren I |
| 13.12.2010 | Blatt 7 | Lösungen | CG-Verfahren II |
| 13.1.2010 | Blatt 8 | Lösungen | Fréchet-Differenzierbarkeit, Selbstfaltungsoperator |
| 20.1.2010 | Blatt 9 | Lösungen | Neumannproblem der Laplace-Gleichung, Abfallverhalten von Fourierkoeffizienten |
| 27.1.2010 | Blatt 10 | Lösungen | Sobolevraum, schwache Ableitung |
| 31.1.2010 | Blatt 11 | Lösungen | Direktes EIT-Problem, Neumann-Dirichlet-Operator |