Inverse Probleme/ Inverse Problems (Wintersemester 2011/12)
- Dozent*in: Prof. Dr. Roland Griesmaier, Dr. Tim Kreutzmann
- Veranstaltungen: Vorlesung (0105100), Übung (0105200)
- Semesterwochenstunden: 4+2
| Termine | |||
|---|---|---|---|
| Vorlesung: | Dienstag 15:45-17:15 | Z 2 | Beginn: 18.10.2011 |
| Mittwoch 11:30-13:00 | Z 1 | ||
| Übung: | Freitag 9:45-11:15 | Z 2 | Beginn: 28.10.2011 |
| Lehrende | ||
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| Dozent | Prof. Dr. Roland Griesmaier | |
| Sprechstunde: Dienstag, 13:00-14:00 Uhr | ||
| Zimmer 1.040 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: roland.griesmaier@kit.edu | Übungsleiter | Dr. Tim Kreutzmann |
| Sprechstunde: | ||
| Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: | ||
Inhalt der Lehrveranstaltung
Ein mathematisches Problem, dessen Lösung nicht stetig von den gegebenen Daten abhängt, heißt nach Hadamard schlecht gestellt. Prominente Beispiele treten in der mathematischen Formulierung von Methoden der medizinischen Bildgebung, wie zum Beispiel Röntgentomographie, Ultraschalltomographie, oder elektrische Impedanztomographie, sowie in der seismischen Bildgebung, bei Radarverfahren oder inversen Streuproblemen auf.
Die in diesem Zusammenhang verwendeten mathematischen Modelle führen häufig auf Integraltransformationen oder Differentialgleichungen. Das Ziel ist allerdings in der Regel nicht die Transformation auszuwerten oder die Gleichung zu lösen, sondern die Transformation zu invertieren oder Parameter der Differentialgleichung aus (partieller) Kenntnis der Lösung zu rekonstruieren. Daher werden diese Problemstellungen inverse Probleme genannt.
Standardverfahren der numerischen Mathematik versagen im Allgemeinen, wenn Sie ohne weiteres auf schlecht gestellte Probleme angewendet werden - das Problem muss regularisiert werden. Der erste Teil der Vorlesung gibt eine Einführung in den funktionalanalytischen Hintergrund von Regularisierungsverfahren für lineare schlecht gestellte Probleme. Alle notwendigen Resultate aus der Funktionalanalysis werden im Zuge der Lehrveranstaltung bereitgestellt. Im zweiten Teil wird das inverse Problem der Computertomographie detaillierter behandelt.
Voraussetzungen
Lineare Algebra 1-2, Analysis 1-3.
Vorlesungsverwaltung und Mailingliste
Sie können sich in der Vorlesungsverwaltung zur Teilnahme an dem Übungsbetrieb eintragen. Dabei werden Sie auch sofort in die Mailingliste eingetragen, über die Sie Fragen von allgemeinem Interesse stellen können und Organisatorisches angekündigt wird.
Übungsblätter
1. Übungsblatt vom 21. Oktober 2011
2. Übungsblatt vom 28. Oktober 2011
3. Übungsblatt vom 04. November 2011
4. Übungsblatt vom 11. November 2011
5. Übungsblatt vom 18. November 2011
6. Übungsblatt vom 25. November 2011
7. Übungsblatt vom 02. Dezember 2011
8. Übungsblatt vom 09. Dezember 2011
9. Übungsblatt vom 16. Dezember 2011
10. Übungsblatt vom 23. Dezember 2011
11. Übungsblatt vom 13. Januar 2012
12. Übungsblatt vom 20. Januar 2012
13. Übungsblatt vom 27. Januar 2012
14. Übungsblatt vom 03. Februar 2012
Ausgewählte Lösungen
Lösung der Aufgabe 3 des 2. Übungsblattes
Lösung der Aufgabe 3 des 4. Übungsblattes
Lösung der Aufgabe 3 des 5. Übungsblattes
Lösung der Aufgabe 3 des 9. Übungsblattes
Lösung der Aufgabe 3 des 11. Übungsblattes
Lösung der Aufgabe 3 des 14. Übungsblattes
Literaturhinweise
- W. Cheney, Analysis for Applied Mathematics, Springer-Verlag, New York, 2001.
- H. Engl, M. Hanke, and A. Neubauer, Regularization of Inverse Problems, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1996.
- A. Kirsch, An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Springer-Verlag, New York, 1996.
- R. Kress, Linear Integral Equations, 2nd ed., Springer-Verlag, New York, 1999.
- F. Natterer, The Mathematics of Computerized Tomography, SIAM, Philadelphia, 2001.
- A. Rieder, Keine Probleme mit inversen Problemen, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 2003.