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Inverse Probleme/ Inverse Problems (Wintersemester 2011/12)

Termine
Vorlesung: Dienstag 15:45-17:15 Z 2 Beginn: 18.10.2011
Mittwoch 11:30-13:00 Z 1
Übung: Freitag 9:45-11:15 Z 2 Beginn: 28.10.2011
Lehrende
Dozent Prof. Dr. Roland Griesmaier
Sprechstunde: telefonisch oder digital, nach vorheriger Vereinbarung per Email
Zimmer 1.040 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: roland.griesmaier@kit.edu
Übungsleiter Dr. Tim Kreutzmann
Sprechstunde:
Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email:

Inhalt der Lehrveranstaltung

Ein mathematisches Problem, dessen Lösung nicht stetig von den gegebenen Daten abhängt, heißt nach Hadamard schlecht gestellt. Prominente Beispiele treten in der mathematischen Formulierung von Methoden der medizinischen Bildgebung, wie zum Beispiel Röntgentomographie, Ultraschalltomographie, oder elektrische Impedanztomographie, sowie in der seismischen Bildgebung, bei Radarverfahren oder inversen Streuproblemen auf.

Die in diesem Zusammenhang verwendeten mathematischen Modelle führen häufig auf Integraltransformationen oder Differentialgleichungen. Das Ziel ist allerdings in der Regel nicht die Transformation auszuwerten oder die Gleichung zu lösen, sondern die Transformation zu invertieren oder Parameter der Differentialgleichung aus (partieller) Kenntnis der Lösung zu rekonstruieren. Daher werden diese Problemstellungen inverse Probleme genannt.

Standardverfahren der numerischen Mathematik versagen im Allgemeinen, wenn Sie ohne weiteres auf schlecht gestellte Probleme angewendet werden - das Problem muss regularisiert werden. Der erste Teil der Vorlesung gibt eine Einführung in den funktionalanalytischen Hintergrund von Regularisierungsverfahren für lineare schlecht gestellte Probleme. Alle notwendigen Resultate aus der Funktionalanalysis werden im Zuge der Lehrveranstaltung bereitgestellt. Im zweiten Teil wird das inverse Problem der Computertomographie detaillierter behandelt.

Voraussetzungen

Lineare Algebra 1-2, Analysis 1-3.

Vorlesungsverwaltung und Mailingliste

Sie können sich in der Vorlesungsverwaltung zur Teilnahme an dem Übungsbetrieb eintragen. Dabei werden Sie auch sofort in die Mailingliste eingetragen, über die Sie Fragen von allgemeinem Interesse stellen können und Organisatorisches angekündigt wird.

Ausgewählte Lösungen

Lösung der Aufgabe 3 des 2. Übungsblattes
Lösung der Aufgabe 3 des 4. Übungsblattes
Lösung der Aufgabe 3 des 5. Übungsblattes
Lösung der Aufgabe 3 des 9. Übungsblattes
Lösung der Aufgabe 3 des 11. Übungsblattes
Lösung der Aufgabe 3 des 14. Übungsblattes

Literaturhinweise

  • W. Cheney, Analysis for Applied Mathematics, Springer-Verlag, New York, 2001.
  • H. Engl, M. Hanke, and A. Neubauer, Regularization of Inverse Problems, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1996.
  • A. Kirsch, An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Springer-Verlag, New York, 1996.
  • R. Kress, Linear Integral Equations, 2nd ed., Springer-Verlag, New York, 1999.
  • F. Natterer, The Mathematics of Computerized Tomography, SIAM, Philadelphia, 2001.
  • A. Rieder, Keine Probleme mit inversen Problemen, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 2003.