Numerische Methoden für Integralgleichungen (Sommersemester 2021)
- Dozent*in: PD Dr. Tilo Arens
- Veranstaltungen: Vorlesung (0160500), Übung (0160510)
- Semesterwochenstunden: 4+2
In der Vorlesung wird es um die mathematischen Grundlage der Lösung von Integralgleichungen durch den Computer gehen. Im wesentlichen wollen wir dabei lineare Fredholm-Gleichungen der zweiten Art behandeln, wie sie in der Vorlesung Integralgleichungen theoretisch betrachtet werden. Wir werden verschiedene Verfahren kennen lernen, jeweils mit deren Stabilitäts- und Konvergenzeigenschaften.
Die Vorlesung wird durch ein numerisches Praktikum komplementiert, in dem die Verfahren auf Randintegralgleichungen angewandt werden sollen. Grundlage für dieses Praktikum ist das MATLAB Paket BIEPack, das vom Dozenten entwickelt wird. Durch die erfolgreiche Teilnahme am Praktikum kann ein Notenbonus für die mündliche Prüfung über dieses Modul erlangt werden.
Die Vorlesung wird online angeboten. Die Vorlesungen finden live als ZOOM-Meeting immer mittwochs und freitags statt. Dienstags gibt es ebenfalls in einem ZOOM-Meeting die Gelegenheit, die Lösungen der Programmieraufgaben mit den Betreuern zu besprechen.
| Termine | ||
|---|---|---|
| Vorlesung: | Mittwoch 10:00-11:30 | |
| Freitag 12:00-13:30 | ||
| Übung: | Dienstag 14:00-15:30 | |
| Lehrende | ||
|---|---|---|
| Dozent | PD Dr. Tilo Arens | |
| Sprechstunde: Mi 11:00-12:00 (bis 16.10.24), Di 15:00-16:00 (ab 22.10.24) | ||
| Zimmer 1.047 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: tilo.arens@kit.edu | Übungsleiter | M. Sc. Raphael Schurr |
| Sprechstunde: Mittwoch, 15.00-16.00 Uhr | ||
| Zimmer 1.039 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: raphael.schurr@kit.edu | ||
ILIAS Seite
Die Vorlesungsmaterialien (Skript, Übungsaufgaben) sowie aktuelle Informationen stellen wir den Teilnehmern der Lehrveranstaltung über die ILIAS-Seite des Kurses zur Verfügung. Der Link zum ILIAS-Kurs lautet:
https://ilias.studium.kit.edu/goto.php?target=crs_1479023&client_id=produktiv
Inhaltsübersicht
Im Laufe der Vorlesung werden wir die folgenden Themen behandeln:
Randintegraloperatoren
Integralgleichungen ergeben sich in der Praxis häufig als Formulierungen von Randwertproblemen für partielle Differentialgleichungen. Wir werden beispielhaft einige Differentialoperatoren, die zugehörigen Potentiale und die sich daraus ergebenden Randintegraloperatoren behandeln. Im Falle eines beschränkten, einfach zusammenhängenden, glatten Gebiets können diese Operatoren als lineare Integraloperatoren auf Räumen periodischer Funktionen aufgefasst werden. Dies bildet die Grundlage für Implementierungen dieser Operatoren.
Interpolation
Für die Diskretisierung von Integraloperatoren ist die Approximation der Integranden durch Interpolation eine entscheidende Technik. Es soll an die bekannten Resultate aus der Numerik I erinnert werden. Diese werden in einem funktionalanlytischem Rahmen dargestellt und erweitert.
Quadraturformeln
Die Approximation von Integralen geschieht durch Quadraturformeln. Neben klassischen interpolatorischen Formeln, werden wir Techniken zur Berechnung von singulären Integralen behandeln, etwa Produktintegration oder speziell angepasste Formeln.
Approximation durch degenerierte Kernfunktionen
Ist die Kernfunktion eines linearen Integraloperators separabel, so ist die zugehörige Integralgleichung äquivalent zu einem linearen Gleichungssystem. Im Falle einer stetigen Kernfunktion kann diese durch Summen separabler Kerne approximiert werden. Konvergenz und Stabilitätsaussagen werden wir bei diesem Verfahren direkt aus dem Störungslemma gewinnen können.
Nyström-Verfahren
In einem Nyström-Verfahren werden die Integraloperatoren direkt durch Quadraturformeln ersetzt. Wir werden zeigen, dass die resultierenden diskreten Operatoren niemals in der Operatornorm gegen den Integraloperator konvergieren können. Allerdings bilden die diskreten Operatoren Folgen von kollektiv kompakten Operatoren, die punktweise konvergieren. Hiermit lässt sich zeigen, dass das Nyström-Verfahren stabil ist und mit dieselbe Konvergenzordnung besitzt, wie die verwendete Quadraturformel.
Projektionsverfahren
Wendet man einen Projektionsoperator auf beide Seiten der Integralgleichung an, so erhält man ein Projektionsverfahren. Die wichtigsten Beispiele sind Interpolationsoperatoren, die auf Kollokationsverfahren führen, sowie Orthogonalprojektionen, die Galerkin-Verfahren ergeben. Die Grundlage für Konvergenzaussagen bildet das Cea-Lemma.
Prüfung
Das Modul wird in einer mündlichen Prüfung von ca. 30 Minuten Dauer abgeprüft. Durch erfolgreiche Teilnahme am Rechnerpraktikum kann ein Notenbonus erworben werden.