Streuprobleme (Wintersemester 2007/08)
- Dozent*in: PD Dr. Tilo Arens
- Veranstaltungen: Vorlesung (1052), Übung (1053)
- Semesterwochenstunden: 4+2
Die Vorlesung richtet sich an Studierende der Mathematik und der Physik im Hauptstudium. Grundkenntnisse aus der Funktionalanalysis sind hilfreich aber nicht notwendig. Zu der Vorlesung gibt es in wöchentlich Übungsblätter, die während der Übungen gemeinsam bearbeitet werden können.
Bei Bedarf wird diese Vorlesung auf Englisch angeboten.
Termine | ||
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Vorlesung: | Dienstag 8:00-9:30 | Seminarraum 31 |
Donnerstag 8:00-9:30 | Seminarraum 31 | |
Übung: | Dienstag 9:45-11:15 | Seminarraum 009 (20.30) |
Lehrende | ||
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Dozent | PD Dr. Tilo Arens | |
Sprechstunde: Di 15:00-16:00 | ||
Zimmer 1.047 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
Email: tilo.arens@kit.edu | Übungsleiter | Dr. Kai Sandfort |
Sprechstunde: | ||
Zimmer Allianz-Gebäude (05.20) | ||
Email: |
Bei einem Streuproblem trifft eine einfallende (akustische) Welle auf einen Körper. Durch die Interaktion von Körper und einfallender Welle entsteht ein gestreutes Feld. Dieses gilt es zu bestimmen.
Streuprobleme können mathematisch als äußere Randwertprobleme für die Helmholtzgleichung formuliert werden. Auf dem Rand des Körpers wird eine Randbedingung vorgegeben, die die physikalischen Eigenschaften des Körpers widerspiegelt. Im unendlichen ist ebenfalls eine geeignete Bedingung vorzugeben, damit die Eindeutigkeit der Lösung gesichert ist. Man nennt dies eine Ausstrahlungsbedingung.
In einem ersten Teil der Vorlesung werden wir uns mit Lösungen der Helmholtzgleichung beschäftigen, die durch Separationsansätze gewonnen werden können. Wir erhalten so die Möglichkeit, Reihenentwicklungen für allgemeine Lösungen anzugeben. Außerdem gewinnen wir einige nützliche Identitäten, die wir im Rest der Vorlesung einsetzen werden. Sodann stellen wir mit den Green'schen Identitäten und der Green'schen Darstellungsformel wesentliche Hilfsmittel für die Arbeit mit der Helmholtzgleichung bereit.
Im zweiten Teil der Vorlesung untersuchen wir schwache Formulierungen der Randwertprobleme für die Helmholtzgleichung. Als Hilfsmittel dienen Sobolev-Räume und verschiedene Sätze aus der Funktionalanalysis. Wir formulieren Voraussatzungen, die die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen garantieren.
Schließlich wenden wir uns im dritten Teil der numerischen Lösung von Streuproblemen durch Randelementmethoden vor. Es ist geplant, sowohl Integralgleichungsformulierungen erster als auch zweiter Art zu betrachten und verschiedene numerische Ansätze zu ihrer Lösung zu untersuchen.
Materialien zur Vorlesung
- die Literaturliste
- das 1. Übungsblatt und Lösungsvorschläge dazu
- eine Übersicht zu Integralbegriffen aus unserem Skript zur Vorlesung Höhere Mathematik III
- das 2. Übungsblatt
- ein Blatt, auf dem der Gradient der Fundamentallösung ausgerechnet und abgeschätzt wird (diese Rechnung wurde in der Übung vom 6.11.07 aus Zeitgründen weggelassen)
- das 3. Übungsblatt und Lösungsvorschläge dazu
- das 4. Übungsblatt und Lösungsvorschläge dazu
- das 5. Übungsblatt und Lösungsvorschläge dazu
- das 6. Übungsblatt und Lösungsvorschläge dazu
- das 7. Übungsblatt und Lösungsvorschläge dazu
- das 8. Übungsblatt und Lösungsvorschläge dazu
- das 9. Übungsblatt
- das 10. Übungsblatt und Lösungsvorschläge dazu
- das 11. Übungsblatt und Lösungsvorschläge dazu
- das 12. Übungsblatt und Lösungsvorschläge dazu
- das 13. Übungsblatt und Lösungsvorschläge dazu
- Finite-Elemente-Code zum Lösen von Streuproblemen: helmholtz_fem.m, boundcond.m
Viel Erfolg bei den Prüfungen und schöne Ferien!