KIT - Fakultät für Mathematik - Streutheorie (Sommersemester 2021)

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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Streutheorie

Streutheorie

Streutheorie (Sommersemester 2021)

Dozent*in: Prof. Dr. Roland Griesmaier
Veranstaltungen: Vorlesung (0166100), Übung (0)
Semesterwochenstunden: 4+2

Alle Informationen und Materialien finden Sie auf der Ilias-Seite zur Vorlesung.

Termine
Vorlesung:	Dienstag 10:00-11:30
	Freitag 10:00-11:30
Übung:	Mittwoch 16:00-17:30

Lehrende
Dozent	Prof. Dr. Roland Griesmaier
	Sprechstunde: Dienstag, 13:00-14:00 Uhr
	Zimmer 1.040 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: roland.griesmaier@kit.edu
Übungsleiter	Dr. Marvin Knöller
	Sprechstunde:
	Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
	Email: marvin.knoeller@kit.edu

Zentraler Gegenstand dieser Vorlesung sind zeitharmonische Streuprobleme für akustische, elektromagnetische oder elastische Wellen, die sich durch die skalare Helmholtzgleichung modellieren lassen. Hierzu bezeichne $u^i$ eine einfallende Welle, welche Lösung der Helmholtzgleichung

$\Delta u^i + k^2 u^i = 0 \quad \text{in } \; \mathbb{R}^3$

ist. Wir modellieren ein durchdringbares Streuobjekt $D$ mithilfe eines Brechungsindex $n^2 \in L^\infty_0(\mathbb{R}^3)$ . Weiterhin betrachten wir einen möglichen Quellterm $f \in L^2_0(\mathbb{R}^3)$ . Das Streuproblem besteht nun darin eine Funktion $u = u^i + u^s$ zu finden, sodass

$\Delta u + k^2n^2 u = f \quad \text{in } \; \mathbb{R}^3,$

zusammen mit einer Ausstrahlungsbedingung für das gestreute Feld $u^s$ erfüllt sind.

Wir beschäftigen uns zunächst mit der Lösbarkeit des direkten Problems.

Hierbei seien der Brechungsindex $n^2$ , sowie das einfallende Feld $u^i$ und der Quellterm $f$ gegeben. Es gilt das gestreute Feld $u^s$ zu bestimmen. Wir untersuchen insbesondere die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen in einem geeigneten Lösungsraum.

Außerdem betrachten wir zwei inverse Probleme.

Beim inversen Quellproblem sei das einfallende Feld $u^i=0$ und der Brechungsindex erfülle $n^2=1$ im gesamten $\mathbb{R}^3$ . Zu gegebenen Beobachtungen des gestreuten Feldes $u^s$ soll nun Information über den Quellterm $f$ rekonstruiert werden.
Beim inversen Streuproblem hingegen seien keine Quellen präsent, d.h. $f = 0$ . Anhand von gegebenen einfallenden Feldern $u^i$ und gegebenen Beobachtungen der zugehörigen gestreuten Felder $u^s$ möchten wir nun den Brechungsindex $n^2$ bzw. den Träger des Streuobjekts $D$ rekonstruieren.