Webrelaunch 2020

Streutheorie (Sommersemester 2021)

Alle Informationen und Materialien finden Sie auf der Ilias-Seite zur Vorlesung.

Termine
Vorlesung: Dienstag 10:00-11:30
Freitag 10:00-11:30
Übung: Mittwoch 16:00-17:30
Lehrende
Dozent Prof. Dr. Roland Griesmaier
Sprechstunde: nach Vereinbarung (per Email)
Zimmer 1.040 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: roland.griesmaier@kit.edu
Übungsleiter M.Sc. Marvin Knöller
Sprechstunde: nach Absprache
Zimmer 1.038 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: marvin.knoeller@kit.edu

Zentraler Gegenstand dieser Vorlesung sind zeitharmonische Streuprobleme für akustische, elektromagnetische oder elastische Wellen, die sich durch die skalare Helmholtzgleichung modellieren lassen. Hierzu bezeichne u^i eine einfallende Welle, welche Lösung der Helmholtzgleichung

$ \Delta u^i + k^2 u^i = 0 \quad \text{in } \; \mathbb{R}^3 $

ist. Wir modellieren ein durchdringbares Streuobjekt D mithilfe eines Brechungsindex n^2 \in L^\infty_0(\mathbb{R}^3). Weiterhin betrachten wir einen möglichen Quellterm f \in L^2_0(\mathbb{R}^3). Das Streuproblem besteht nun darin eine Funktion u = u^i + u^s zu finden, sodass

$ \Delta u + k^2n^2 u = f \quad \text{in } \; \mathbb{R}^3, $

zusammen mit einer Ausstrahlungsbedingung für das gestreute Feld u^s erfüllt sind.

Wir beschäftigen uns zunächst mit der Lösbarkeit des direkten Problems.

  • Hierbei seien der Brechungsindex n^2, sowie das einfallende Feld u^i und der Quellterm f gegeben. Es gilt das gestreute Feld u^s zu bestimmen. Wir untersuchen insbesondere die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen in einem geeigneten Lösungsraum.

Außerdem betrachten wir zwei inverse Probleme.

  • Beim inversen Quellproblem sei das einfallende Feld u^i=0 und der Brechungsindex erfülle n^2=1 im gesamten \mathbb{R}^3. Zu gegebenen Beobachtungen des gestreuten Feldes u^s soll nun Information über den Quellterm f rekonstruiert werden.
  • Beim inversen Streuproblem hingegen seien keine Quellen präsent, d.h. f = 0. Anhand von gegebenen einfallenden Feldern u^i und gegebenen Beobachtungen der zugehörigen gestreuten Felder u^s möchten wir nun den Brechungsindex n^2 bzw. den Träger des Streuobjekts D rekonstruieren.