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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik
Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme
Lehre HM
Test 5 (HM1)

Selbsttest 5 - Funktionen

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).

Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

  1. Sind Ihnen alle Begriffe klar?
  2. Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
  3. Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihre Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen. Darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.




1) Geben Sie das größtmögliche Intervall an, auf welchem die jeweilige Funktion umkehrbar ist.

(a)(b)(c)(d)
(a)(b)(c)(d)
\mathbb{R}
\mathbb{R}_{\geq 0}
\mathbb{R}_{>0}
\left\{x\in\mathbb{R}:x\geq 1\right\}
\left\{x\in\mathbb{R}:x>1\right\}
\left\{x\in\mathbb{R}:0\leq x\leq \pi\right\}
\left\{x\in\mathbb{R}:0\leq x<\pi\right\}
\left\{x\in\mathbb{R}:0<x<\pi\right\}



2) Sind folgende Aussagen richig oder falsch?

RichtigFalsch
Ein Polynom vom Grad n hat mindestens n Nullstellen.
Die Graphen einer Funktion f und ihrer Umkehrfunktion f^{-1} liegen spiegelsymmetrisch zur Geraden g(x)=x.
Ist f monoton wachsend, so besitzt f eine Umkehrfunktion.
Es sei f, g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_+ mit \lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=a und \lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x)=b. Dann gilt \lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)^{g(x)}=a^b.
Eine Funktion f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} mit Polynomen p und q ist überall stetig.
Jede stetige Funktion ist auch lipschitz-stetig.
Es gibt Mengen, die weder offen noch abgeschlossen sind.
Ist A\subseteq\mathbb{C} beschränkt und f:A\rightarrow\mathbb{R} stetig, dann existieren Minimum und Maximum von f(a).
Die Menge \{z\in\mathbb{C}: 1\leq \operatorname{Re} z \leq 5, -2\leq \operatorname{Im} z\}\cup\{2\pi\} ist abgeschlossen.



3) Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der folgenden Funktionen: (Hilfe)

f(x)=\sqrt{x-x^3} g(x)=\sqrt{-x} + \frac{1}{\sqrt{2+x}}
h(x)=\log\dfrac{x^2-3x+2}{x+1} k(x)=\sqrt{x}\,+\sqrt[3]{\frac{1}{x-2}}-\log(2x-3)
fghk
1) (2,\infty)
2) (-\infty, -1]\cup(0,1)
3) (-1,1)\cup(2,\infty)
4) (-\infty,-1]\cup[0,1]
5) (-2,\infty)
6) [2,\infty)
7) (-2,0]
8) (-\infty,1)





In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Ihren Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.