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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Lehre HM

Test 12 (HM1)

Selbsttest 12 - Differentialrechnung

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).

Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

Sind Ihnen alle Begriffe klar?
Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihre Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen. Darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.

1) Sind folgende Aussagen richtig oder falsch?

	Richtig	Falsch	Hinweis
Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ verschwindet an einer Extremalstelle.			Satz 5.21
Der Funktionswert einer differenzierbaren Funktion $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ verschwindet an einer Extremalstelle.			Satz 5.21
Bei der Regel von l'Hospital muss beachtet werden, dass der Nenner für alle $x \neq x_0$ ungleich $0$ ist.			s. 83
Bei der Regel von l'Hospital muss beachtet werden, dass der Nenner für alle $x$ ungleich $0$ ist.			s. 83
Das Taylorpolynom vom Grad $n$ von $f(x)=e^x$ mit dem Entwicklungspunkt $x_0$ ist $p_n(x)= \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{e^{x_0}}{k!}(x-x_0)^k.$			s. 85
Es gilt $e^x= \sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!}x^k = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{e}{k!}(x-1)^k$ .			s. 87
Es gilt $e^x= \sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!}x^k = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{e}{k!}(x-1)^k$ .			s. 87
Ein Läufer bewegt sich entlang einer Geraden. Seine Position zum Zeitpunkt $t_1$ und $t_2 \neq t_1$ stimmen überein. Dann gibt es einen Zeitpunkt $t \in (t_1, t_2)$ , an dem die Geschwindigkeit gleich $0$ war.			Satz 5.23

2) Bestimmen Sie die angegebenen Grenzwerte und geben Sie dabei an, ob die Regel von de l'Hospital anwendbar ist: (Hilfe)

a) $\lim\limits_{x \rightarrow 0} 6\cdot \dfrac{\tan x - x}{x^3} =$

	Ja	Nein
l'Hospital

b) $\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{\dfrac{x-\sin x}{x+\sin x}} =$

	Ja	Nein
l'Hospital

c) $\lim\limits_{x \rightarrow 0} 6\cdot \dfrac{1-\cos x}{x^2} =$

	Ja	Nein
l'Hospital

d) $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \dfrac{x+cosx}{x} =$

	Ja	Nein
l'Hospital

Hinweis: (a) $(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2 x}$

3) Eine Zylinderoberfläche soll bei einem gegebenen Materialverbrauch von $150\,\pi$ Flächeneinheiten ein möglichst großes Volumen umschließen. Bestimmen Sie zunächst die zu optimierende Funktion in Abhängigkeit vom Radius. Berechnen Sie damit den optimalen Radius und die optimale Höhe, sowie das daraus resultierende Volumen.

zu optimierende Funktion:
1) $V(r)=150\pi r - \frac12\pi r^3$
2) $V(r)=75\pi r - \pi r^3$
3) $V(r)=150\pi r - \pi r^2$

optimaler Radius:
optimale Höhe:
größtmögliches Volumen:

4) Sei $f(x)=x^2-3x+3$ . Welcher Punkt $(x,y)$ auf dieser Kurve hat den geringsten Abstand zum Ursprung?

$x$ = .
$y$ = .

5)
a) Entwickeln Sie $f(x)=\exp(2x-x^2)$ und $g(x)=\sin(\sin x)$ nach der Taylor-Formel an der Stelle $x_0=0$ bis zum Glied $n=3$ einschließlich.

$f(x)$ = + $x$ + $x^2$ + $x^3$ + $R_3(x,0)$

$g(x)$ = + $x$ + $x^2$ + $x^3$ + $R_3(x,0)$

b) Gegeben sei die Funktion $f(x)= \dfrac{2-x^2}{2+x^2}$ . Bestimmen Sie $f^{(8)}(0)$ , indem Sie die Potenzreihe zu $f$ bestimmen und einen Koeffizientenvergleich machen. (Hilfe)

$f^{(8)}(0)$ =

In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Ihren Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.