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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik
Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme
Lehre HM
Test 9 (HM2)

Selbsttest 9 - Potenzreihenansatz

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie, die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).

Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

  1. Sind Ihnen alle Begriffe klar?
  2. Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
  3. Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihre Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen. Darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.



1) Gegeben sind die folgenden Anfangswertprobleme, die mit den angegebenen Potenzreihenansätzen gelöst werden sollen:

$y'(x)+xy(x)=e^x\,,\ y(0)=1\,,\ y(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k x^k\,,$

$xu'(x)=x+e^{x-1}-1\,,\ u(1)=1\,,\ u(x)=\sum_{k=0}^\infty b_k (x-1)^k\,,$

$xv'(x)+v(x)=\frac12x+1\,, v(-2)=1\,,\ v(x)=\sum_{k=0}^\infty c_k (x+2)^k\,.$

Bestimmen Sie die Koeffizienten im jeweiligen Potenzreihenansatz und markieren Sie die korrekten Antworten: (Hilfe)

0\frac18\frac16\frac14\frac1212
a_1=
a_2=
b_1=
b_2=
c_1=
c_2=



2) Bestimmen Sie zu den angegebenen Differentialgleichungen die Rekursionsformeln, die Sie mit dem Potenzreihenansatz zum Entwicklungspunkt x_0=0 erhalten. (Hilfe)

$(x^2+1)y''(x)-6y(x)=0$

$u''(x)+x^2u'(x)+2xu(x)=0$

$xv''(x)+4v'(x)+4v(x)=0$

a_{k+3}=-\frac{a_k}{k+3}, b_{k+2}=-\frac{k-3}{k+1}b_k,c_{k+1}=\frac{-2}{k+1}c_k,d_{k+1}=\frac{-4}{(k+1)(k+4)}d_k,
k\geq 0, k\geq 0, k\geq0, k\geq0
y(x):
u(x):
v(x):




3) Die folgenden Differentialgleichungen können mit einem verallgemeinerten Potenzreihenansatz der Form

$f(x)=x^\lambda \sum_{j=0}^\infty c_j x^j\,,\ x>0\,,\ c_0\not=0$

gelöst werden.

$xu'(x)+(1+x^2)u(x)=0\,,\ x>0$

$xv'(x)+(2+x)v(x)=0\,,\ x>0$

$2xw'(x)+(1+x^2)w(x)=0\,,\ x>0$

Bestimmen Sie jeweils das geeignete \lambda\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{N}_0: (Hilfe)

\lambda=-\frac14\,,\lambda=-\frac12\,,\lambda=-1\,,\lambda=-2\,,\lambda=-4
u(x):
v(x):
w(x):



In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Ihren Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.